Lista Esami di Algebra

1. Dato un primo p, sia [a]_{p} la classe di resto modulo p contente a.

(a) Mostrare che π_{p}(a_{ij}) = ([a_{ij}]_{p}), i, j = 1, 2, 3 definisce un omomorfismo dall’anello delle matrici 3 × 3 su ℤ all’anello delle matrici 3 × 3 su ℤ_{p}.

(b) Sia

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )

una matrice a coefficienti in ℤ. Determinare det π_{2}(A) e det π_{3}(A).

(c) Trovare det π_{p}(A), per ogni primo p.

2. Sia f(z) = \frac{z^{2}}{1−2z}.

(a) Definire la funzione generatrice associata ad una successione.

(b) Determinare la successione (a_{i}) la cui funzione generatrice associata è f.

(c) Calcolare f(z) + f(−z). Che informazioni sugli a_{i} ricavate da tale

calcolo?

3. (a) Dimostrare che per ogni n ∈ ℤ, n^{4} − n^{2} è divisibile per 12. (b) Dimostrare che ∀n ≥ 0, 35 divide 6^{n^{4}−n^{2}} − 1.

4. (a) Si dia la definizione di semigruppo.

(b) Nell’insieme M = ℤ × ℤ si consideri l’operazione

(a, b) ∗ (c, d) = (ac, bc + d).

Si verifichi se (M, ∗) è un monoide.

5. Siano A e B sottoinsiemi di ℤ così definiti

A = {6x + 8y : x, y ∈ ℤ}, B = {8y : y ∈ ℤ}

(a) Si dimostri che (A, +) è un gruppo.

(b) Si dica se A è sottogruppo di B o se B è sottogruppo di A.

6. (a) Determinare il massimo comune divisore tra 1812 e 724. (b) Risolvere 1812x + 724y = 12 con x, y ∈ ℤ.

7. Dati i polinomi f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 3 e g(x) = x^{2} − x in ℤ_{n}[x], determinare per quali valori di n, M.C.D.(f, g) = 1.

8. Dato un primo p, si ponga m = \frac{p^{p}−1}{p−1}.

(a) Dimostrare che M.C.D.(m, p − 1) = 1 (si ponga v = p − 1, quindi p = v + 1).

(b) Sia q un divisore primo di m. Mostrare che l’ordine di p in ℤ_{q}^{∗} è p.

(c) Concludere che ogni divisore di m è congruo a 1 modulo p (usare

il Teorema di Eulero-Fermat).

9. Siano date le relazioni R : Y −̸→ Z e S, T : X −̸→ Y.

(a) Provare che R(S ∩ T) ⊆ RS ∩ RT.

(b) Mostrare con un controesempio che non vale l’inclusione opposta

(scegli R, S, T di cardinalitá 2, 1, 1).

10. (a) Si dimostri che tutti gli ideali di ℤ sono della forma nℤ per qualche

intero n.

(b) Determinare tutti gli anelli che risultano essere immagini epimorfe

di ℤ.

11. Determinare il numero e la struttura dei 3-sottogruppi di Sylow di A_{4}, il gruppo alterno su 4 lettere.

12. (a) Dimostrare che per ogni n ∈ ℤ, n^{4} − n^{2} è divisibile per 12. (b) Dimostrare che ∀n ≥ 0, 35 divide 6^{n^{4}−n^{2}} − 1.

13. (a) Si dia la definizione di semigruppo.

(b) Nell’insieme M = ℤ × ℤ si consideri l’operazione

(a, b) ∗ (c, d) = (ac, bc + d).

Si verifichi se (M, ∗) è un monoide.

14. Siano A e B sottoinsiemi di ℤ così definiti

A = {6x + 8y : x, y ∈ ℤ}, B = {8y : y ∈ ℤ}

(a) Si dimostri che (A, +) è un gruppo.

(b) Si dica se A è sottogruppo di B o se B è sottogruppo di A.

15. (a) Determinare il massimo comune divisore tra 1812 e 724.

(b) Risolvere 1812x + 724y = 12 con x, y ∈ ℤ.

16. Dati i polinomi f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 3 e g(x) = x^{2} − x in ℤ_{n}[x], determinare per quali valori di n, M.C.D.(f, g) = 1.

17. Sia ℤ_{p}[x] l’anello dei polinomi a coefficienti sull’anello delle classi di resto modulo p, p primo; si consideri f(x) = x^{6}+x^{5}+3x^{4}+3x^{3}+2x+2 ∈ ℤ_{p}[x].

(a) Determinare i valori di p per cui f ammette 1 come radice.

(b) Determinare i valori di p per cui f ammette −1 come radice.

(c) Detti r e q resto e quoziente nell’algoritmo euclideo di f rispetto a x^{2} − 1, determinare i valori di p per cui r = 0 e q è un polinomio irriducibile in ℤ_{p}[x].

18. Sia G =GL_{2}(ℂ) il gruppo delle matrici invertibili di ordine 2 sul campo dei complessi. Dato a = a_{0} + ia_{1} ∈ ℂ, si indichi con ā = a_{0} − ia_{1} il coniugato di a, ove a_{0}, a_{1} sono numeri reali.

(a) Provare che H = \{( \begin{matrix}a & b \\ −b̄ & ā \end{matrix} ) | a, b ∈ ℂ, ⟨a, b⟩ ≠ ⟨0, 0⟩\} è un sot-

togruppo di G.

(b) Mostrare che il determinante di ogni elemento di H è un numero reale positivo.

(c) Stabilire per quali valori di r ∈ ℝ, H_{r} = {h ∈ H | det(h) = r} è un sottogruppo di H.

19. Sia il gruppo G prodotto di due suoi sottogruppi A e B (ossia G = {ab | a ∈ A, b ∈ B}). Si definisca la relazione R di A in sé come segue: aRa′ ⟺ ∃b, b′ ∈ B tali che ab = b′a′.

(a) Provare che R definisce una relazione di equivalenza su A.

(b) Descrivere gli elementi della classe di equivalenza contenente 1.

(c) Sia G = S_{3} il gruppo simmetrico su 3 oggetti, si dimostri che G = AB, ove A è un 2-sottogruppo di Sylow e B un 3-sottogruppo di Sylow di G e si determinino le classi di equivalenza dei vari elementi di A.

20. Sia X un insieme finito e sia f un’endofunzione iniettiva di X. Si definisca ricorsivamente f^{1} = f e f^{m} = f ∘ f^{m−1}, l’iterata m-sima rispetto alla composizione di f.

(a) Dato x ∈ X, mostrare che esiste un intero positivo m = m(x), tale che f^{m}(x) = x (si consideri l’insieme delle immagini di x mediante le iterate di f).

(b) Mostrare che esiste un intero positivo u tale che f^{u}(x) = x per ogni x ∈ X (si consideri il minimo comune multiplo degli interi m(x) al variare di x ∈ X).

(c) Provare che f è invertibile e che l’inversa coincide con un’opportuna iterata di f.

21. Siano a e b interi tali che M.C.D(a, b) = 1. Dato un intero c, sia x il prodotto di tutti i primi che dividono c ma non dividono a se M.C.D.(a, c) ≠ 1, x = 0 altrimenti.

(a) Provare che ogni divisore primo di c non divide a + bx.

(b) Mostrare che M.C.D.(a + bx, c) = 1.

(c) Determinare il minimo valore di y tale che M.C.D.(6+7∗y, 15) = 1.

22. Un automorfismo α di un gruppo finito G dicesi privo di punti fissi se α(g) = g implica g = 1. Sia α un automorfismo di G privo di punti fissi di ordine 2.

(a) Dimostrare che f ∈End(G) definita da f(g) = g^{−1}α(g) è iniettiva.

(b) Dimostrare che f è suriettiva e dedurne che α(g) = g^{−1}.

(c) Provare che G è abeliano.

23. Nel gruppo totale delle permutazioni su 5 oggetti S_{5}, sia data la per-

mutazione

F = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 2 & 5 & 1 \end{matrix} ) .

(a) Si determini un’altra permutazione G ≠ 1, F tale che F ·G = G·F.

(b) Si scrivano F e G come prodotto di cicli disgiunti.

24. (a) Determinare la funzione generatrice associata a \binom{n}{k}, dove n è fissato.

(b) Dimostrare la formula di convoluzione di Vandermonde

∑_{k=0}^{r} \binom{n}{k}\binom{m}{r − k} = \binom{n + m}{r}.

25. Nell’anello ℤ[x] si consideri l’ideale I generato da 3 e da x.

(a) Si mostri che I non è principale

(b) Descrivere in modo esplicito gli elementi di I e provare che 1 + xf(x) ∉ I per ogni polinomio f.

26. Sia G il gruppo delle trasformazioni rigide di un quadrato in sé.

(a) Provare che G contiene un elemento a di ordine 4 e un elemento b di ordine 2 che non è una potenza di a.

(b) Mostrare che |G| = 8.

(c) Determinare i sottogruppi normali di G.

27. Sia A il sottoinsieme dei numeri reali della forma \{a + b\sqrt{3} : a, b ∈ ℤ\}.

(a) Provare che A è un anello rispetto alle consuete operazioni di somma e prodotto sui reali.

(b) Sia I l’ideale generato da 3 in A e Q = A/I il relativo anello quoziente. Mostrare che |Q| = 9.

(c) Determinare gli elementi nilpotenti di Q.

28. Si consideri la relazione aRb ⟺ ∃n ∈ ℤ tale che a = 2^{n}b definita sugli interi.

(a) Provare che R definisce una relazione di equivalenza su ℤ.

(b) Descrivere gli elementi della classe di equivalenza contenente 1.

29. Nel gruppo totale delle permutazioni su 6 oggetti G =S_{6}, sia data la permutazione g = (1, 2)(3, 4, 5, 6).

(a) Si determini C_{G}(g) = {x ∈ G : xg = gx}.

(b) Provare che C_{G}(g) è un sottogruppo di G.

(c) Trovare l’ordine della classe di coniugio di g in G.

30. (a) Dimostrare che x^{md} − 1 = (x^{d} − 1) ∑_{i=0}^{m−1} x^{di}.

(b) Se d è un intero dispari provare che x^{md}+1 = (x^{d}+1) ∑_{i=0}^{m−1}(−1)^{i}x^{di}.

(c) Dato un intero n, provare che 2^{n} + 1 è primo solo se n è una potenza di 2.