1. Sia V = ℝ^{4}.

(a) Dimostrare che f(v) = \sqrt{2}v, definisce un endomorfismo di V.

(b) Ha senso parlare della matrice associata ad f? In tal caso deter-

minarla.

2. Sia A una matrice 3 × 3 a coefficienti in ℤ_{7}, avente autovalori 1, 2, 3. (a) Esibire almeno due matrici simili ad A.

(b) Calcolare la traccia e il determinante di A.

3. Sia V = ℚ[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti razionali.

(a) Mostrare che il sottoinsieme S dei polinomi di grado minore o uguale a 2 è un sottospazio di V.

(b) Provare che {2, (x + 1), (x + 1)^{2}} è una base per S.

4. Sia f un endomorfismo di uno spazio vettoriale V, tale che f^{3} = f. (a) Mostrare gli autovalori di f appartengono a {±1, 0}.

(b) Esibire un tale f con autovalori ±1 soltanto.

5. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro λ ∈ ℤ_{7}

\{ \begin{matrix}x_{1} − 3x_{2} + x_{3} = 1 \\ x_{1} + x_{2} − 3x_{3} = 2 \\ 2x_{1} − 2x_{2} − λx_{3} = 3. \end{matrix}

6. Calcolare i minori principali di

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 1 \\ −1 & −2 & 1 & 3 \\ 0 & a & 1 & 0 \\ 7 & 2 & −1 & 2 \end{matrix} )

al variare di a in ℂ.

7. Determinare autovettori e autovalori della matrice A ∈ Mat_{n}(ℝ):

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ −1 & 2 & 3 \\ 2 & −1 & 2 \end{matrix} )

8. Sia a = 201338 e b = 413362 e si indichi con [c]_{7} la classe dell’intero c modulo 7.

(a) Calcolare [ab]_{7}

(b) Sotto quali condizioni su c ∈ ℤ_{7} esiste [a/c]_{7}?

(c) Calcolare [a^{6}]_{7}.

9. Sia f(z) = \frac{z^{2}}{1−2z}.

(a) Definire la funzione generatrice associata ad una successione.

(b) Determinare la successione (a_{i}) la cui funzione generatrice associata è f.

(c) Calcolare f(z) + f(−z). Che informazioni sugli a_{i} ricavate da tale

calcolo?

10. Nell’anello ℤ[x] si consideri l’ideale I generato da 3 e da x.

(a) Si mostri che I non è principale

(b) Descrivere in modo esplicito gli elementi di I e provare che 1 +

xf(x) ∉ I per ogni polinomio f.

11. Sia f l’applicazione da ℝ^{5} in ℝ^{3} definita mediante f(a, b, c, d, e) = (a − b, c, d − e).

(a) Mostrare che f è lineare.

(b) Stabilire per quali valori di a e d (a, a, 0, d, d) ∈ ker f.

(c) Determinare i vettori v tali che f(v) = (1, 3, 2).

12. Sia a = 21338 e b = 142362 e si indichi con [c]_{11} la classe dell’intero c modulo 11.

(a) Calcolare [ab]_{11}.

(b) Calcolare [a^{10}]_{11}.

(c) Sotto quali condizioni su c ∈ ℤ è risolvibile cx ≡ a (mod 11)?

13. Sia f l’applicazione da ℝ^{5} in ℝ^{3} definita mediante

f(a, b, c, d, e) = (5a + b − c, 2c − d, d − e).

(a) Mostrare che f è lineare.

(b) Stabilire per quali valori di a e d, (a, a, 2, d, d) ∈ ker f.

(c) Determinare i vettori v tali che f(v) = (1, 3, 2).

14. Sia A = \{a + b\sqrt{−5} | a, b ∈ ℤ\}.

(a) Dimostrare che A è un anello commutativo dotato di unità.

(b) Sia N : A → ℤ, definita da N(a + b\sqrt{−5}) = a^{2} + 5b^{2}. Si mostri che N(αβ) = N(α)N(β), per ogni α, β in A.

(c) Determinare l’insieme {u ∈ A | N(u) = 1} e mostrare che coincide

cogli elementi invertibili di A.

15. Sia V = ℝ^{4}.

(a) Dimostrare che f(v) = \sqrt{2} v, definisce un endomorfismo di V.

(b) Ha senso parlare della matrice associata ad f? In tal caso deter-

minarla.

16. Sia A una matrice 3 × 3 a coefficienti in ℤ_{7}, avente autovalori 1, 2, 3. (a) Esibire almeno due matrici simili ad A.

(b) Calcolare la traccia e il determinante di A.

17. Sia V = ℚ[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti razionali.

(a) Mostrare che il sottoinsieme S dei polinomi di grado minore o uguale a 2 è un sottospazio di V.

(b) Provare che {2, (x + 1), (x + 1)^{2}} è una base per S.

18. Sia f un endomorfismo di uno spazio vettoriale V, tale che f^{3} = f. (a) Mostrare gli autovalori di f appartengono a {±1, 0}.

(b) Esibire un tale f con autovalori ±1 soltanto.

19. Determinare tutti e soli i polinomi f(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d, a, b, c, d ∈ ℚ tali che f(0) = 1, f(−2) = 0 e f(1) = \frac{1}{2}.

20. Sia f(x, y, z) = (x + y, −x + z, 2x + y − z), x, y, z ∈ ℤ_{5}. Mostrare che f è lineare e calcolarne la matrice associata rispetto alla base {(1, 1, 0), (0, −1, 1), (0, 2, 1)}.

21. Dati i sottospazi U = {(x, x, 2x + y, x − y)} e W = {(x + y, y, −x + z, y + z)} di ℝ^{4} determinare una base di U ∩ W e di U + W.

22. Assumendo che ∑_{i=1}^{n} i^{2} sia esprimibile mediante un polinomio f di grado 3 in n:

(a) Determinare f valutando la precedente somma per alcuni valori di n.

(b) Dimostrare per induzione la correttezza del precedente risultato.

23. Sia A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) ed R = \{x + yA | x, y ∈ ℚ\}.

(a) Si dimostri che R è un sottocampo dell’anello delle matrici 2 per 2 a coefficienti razionali.

(b) In particolare determinare esplicitamente l’inverso della matrice x + yA.

24. Sia f l’endofunzione di ℕ definita da f(a) = b, se a = 2b, 3a + 1 altrimenti.

(a) Stabilire se f è iniettiva, suriettiva o biunivoca.

(b) Calcolare la successione {f^{i}(5) | i = 1, 2, …}, ove f^{i} indica l’iterata i-sima di f. (Si congettura che per ogni intero n esista i tale che f^{i}(n) = 1.)

25. Sia determini al variare del parametro reale a il rango della seguente matrice

M := ( \begin{matrix}1 & a & 1 & 0 \\ 0 & a & −1 & 2 \\ a & 1 & 2 & 3 \end{matrix} ) .

26. Dimostrare che esiste una sola applicazione lineare f ∈ End(ℝ^{3}) tale che

(a) e_{1} + e_{3} è un autovettore di autovalore 1;

(b) f(e_{1}) = 2(e_{1} + e_{2} + e_{3});

(c) f(e_{2} + e_{3}) = 2e_{2}, dove e_{i} sono i vettori della base standard, e se ne determini nucleo e immagine.

27. Sia ℤ_{p}[x] l’anello dei polinomi a coefficienti sul campo con p elementi, p primo.

(a) Si determini per quali valori di p primo, il polinomio f(x) = x^{4} + 2x^{3} − 3x^{2} + 2x + 13 ammette 1 come radice;

(b) si fattorizzi non banalmente f per tali primi.

28. Sia B la matrice di righe (−2, 0, 6), (2, 0, −6), (−1, 0, 3)

(a) Si dimostri che B^{2} = B;

(b) provare che gli autovalori λ di B sono 0 o 1 (usando il punto precedente non e’ necessario alcun calcolo);

(c) mostrare che A è diagonalizzabile

29. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro λ ∈ ℤ_{7}

\{ \begin{matrix}x_{1} − 3x_{2} + x_{3} = 1 \\ x_{1} + x_{2} − 3x_{3} = 2 \\ 2x_{1} − 2x_{2} − λx_{3} = 3. \end{matrix}

30. Calcolare i minori principali di

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 1 \\ −1 & −2 & 1 & 3 \\ 0 & a & 1 & 0 \\ 7 & 2 & −1 & 2 \end{matrix} )

al variare di a in ℂ.

31. Determinare autovettori e autovalori della matrice A ∈ Mat_{n}(ℝ):

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ −1 & 4 & 3 \\ 2 & −1 & 1 \end{matrix} )

32. Si determini un’applicazione lineare f : ℝ^{3} → ℝ^{2} tale che (a) ker f = ⟨(1, 1, 0), (0, 1, 1)⟩;

(b) un autovalore sia uguale a 2 e il relativo autovettore sia (1, 1, 1);

(c) si determini la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche.

33. Sia A = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ).

(a) Mostrare che A^{n} = ( \begin{matrix}(−1)^{n} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3n \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) per n ∈ ℕ;

(b) si provi che K = {A^{n} : n ∈ ℤ} è un gruppo abeliano rispetto al prodotto righe per colonne;

(c) stabilire se K è ciclico e, in tal caso, determinarne un generatore.

34. Risolvere il sistema x − y + az = 0, 2x − \frac{1}{2}y = 1, x + 10y − 11z = 2 al variare del parametro a ∈ ℤ_{5}.

35. Sia V lo spazio vettoriale delle matrici 2 × 2 su ℤ_{2}:

(a) stabilire se U = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) : a^{2} = b^{2}\} è un sottospazio di V;

(b) provare che W = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) : a = c + d\} è un sottospazio di V;

(c) esibire una base per W.

36. Si consideri il polinomio p(x) = x^{7} + 2x^{6} + x^{5} + x^{3} + x^{2} + 1 ∈ ℤ_{3}[x]. (a) Si mostri che p è divisibile per a(x) = x^{3} + 2x + 1.

(b) Si determini una decomposizione di p(x) come prodotto di poli-

nomi irriducibili.

37. Si consideri l’insieme finito standard [n] munito del suo ordine naturale e si indichi con O(n) l’insieme delle endofunzioni non decrescenti di [n].

(a) Si dimostri che O(n) è un sottomonoide di End[n].

(b) Provare che |O(n)| = \frac{(2n)!}{2(n!)^{2}} .

38. Si dimostri per induzione che per ogni n ≥ 1 vale:

∑_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)(3n^{2} + 3n − 1)}{30}.