Geometria Elementare: tutto quello che volevate sapere ma non

avete mai osato chiedere

Andrea Previtali

Menaggio, 16 Maggio 2003

Protagonisti

La Geometria Elementare si occupa di stabilire relazioni tra tre tipi di oggetti:

• Punti ▪

• Rette

• Circonferenze

Elementare Mister Watson!

Qualcosa viene dato per scontato ed evidente Assiomi o Postulati

Euclide (325-256 a.c.) ne propone 5

1. (la retta è infinita) un segmento è illimitatamente prolungabile;

2. dati due punti esiste una ed una SOLA retta che li congiunge;

3. esiste una ed una SOLA circonferenza con centro e raggio assegnati;

4. se due rette si incontrano formando un angolo retto, anche gli altri tre angoli sono retti;

5. (Assioma delle parallele) esiste una ed una SOLA retta parallela ad una retta data e passante per un punto dato.

Geometrie non-euclidee

Riemann (1826-1866) descrive una geometria con rette di lunghezza finita, tale geometria viene detta Ellittica.

Lobachevskij (1793-1856) mostra che si può negare l’assioma delle parallele senza incorrere in contraddizione, la sua geometria viene detta Iperbolica.

Se il mondo fosse iperbolico ci sarebbero:

• rette che si avvicinano senza mai incontrarsi;

• triangoli la cui somma degli angoli interni è minore di 180 gradi;

• circonferenze la cui lunghezza non uguaglia il diametro per π.

Teoremi

Supponiamo che le nostre regole di partenza siano gli assiomi di Euclide. Tutte le conseguenze logiche di questi assiomi vengono detti Teoremi della Geometria Euclidea. Alcuni esempi noti a Euclide: Teorema 1. (Baricentro) Le mediane di un triangolo si incontrano in un solo punto. Teorema 2. (Ortocentro) Le altezze di un triangolo si incontrano in un solo punto. Teorema 3. (Circocentro) Gli assi dei tre lati di un triangolo si incontrano in un solo punto.

Teoremi meno noti

Eulero (1707-1783) il più prolifico matematico mai esistito (oltre 22 volumi di teoremi da lui scoperti) si accorse che Teorema 4 (Eulero). Il baricentro, l’ortocentro e il circocentro di un triangolo sono allineati. La retta su cui giacciono viene detta di Eulero.

A Napoleone (1769-1821), il grande condottiero francese, viene attribuito il seguente Teorema 5 (Napoleone). Il triangolo avente come vertici i (circo)centri dei tre triangoli equilateri costruiti sui lati di un triangolo è equilatero.

Al matematico americano Morley (1860-1937) si deve infine Teorema 6 (Morley). Il triangolo avente come vertici i punti di intersezione delle trisettrici interne di un triangolo è equilatero.

Paghi uno e prendi due

Voglio infine accennare ad un metodo che consente di ottenere da un teorema noto un nuovo teorema. Tale metodo è dovuto al geometra francese Poncelet (1788-1867) ed è meglio noto col nome di Principio di Dualità.

Come esempi fornisco due teoremi dovuti a Pascal (1623-1662) e a Brianchon (1783-1864). Teorema 7 (Pascal). I punti di intersezione dei lati opposti di un esagono inscritto in una circonferenza sono congiunti da una retta. Teorema 8 (Brianchon). Le rette congiungenti i vertici opposti di un esagono circoscritto ad una circonferenza si incontrano in un punto.

Nonostante i due asserti siano stati scoperti a duecento anni di distanza e sembrino graficamente molto diversi, uno è ottenibile dall’altro usando il seguente

Glossario

• punto ⇆ retta;

• intersezione ⇄ congiungente;

• inscritto ⇆ circoscritto.