STRUTTURA E GRADI DEI CARATTERI DEI p–SOTTOGRUPPI DI SYLOW DEI GRUPPI FINITI DI TIPO

LIE

Andrea Previtali^{1} Dipartimento di Matematica

Universita’ di Pisa Via M. Buonarroti,2

Pisa

Relatore: Prof. B. Huppert Correlatore: Prof. M. Forti

21 dicembre 2003

1Ricerca finanziata dal Dottorato in Matematica dell’Universita’ di Pisa

2

Indice

1 Fondamenti 5 1.1 Sunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Notazioni e definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Struttura e gradi dei caratteri dei p–sottogruppi di Sylow dei gruppi di tipo Lie 9 2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Descrizione matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Passo induttivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Ricorrenze lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Limiti di tipo Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6 Casi piccoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Classi di coniugio e gradi dei caratteri nei p–sottogruppi di Sylow dei gruppi lineari e simplettici 27 3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Risultati preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Lunghezze delle orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Il caso lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.2 Il caso simplettico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Metodi di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.5 Un controesempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6 Gradi dei caratteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Su una congettura relativa ai gradi dei caratteri di certi p–gruppi 49 4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2 Risultati preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3 Gruppi con gradi q–potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 l’esponente dei p–sottogruppi dei gruppi di tipo Lie: il caso

isotropo 55 5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 Determinazione dell’esponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Bibliografia 63

Capitolo 1

Fondamenti

1.1 Sunto

Lo studio dei gruppi finiti di tipo Lie e’ gia’ ravvisabile nel fondamentale Traité des substitutions di C. Jordan. La loro importanza nella teoria dei gruppi finiti e’ resa evidente dal teorema di classificazione dei gruppi semplici finiti. Intento di questa tesi e’ lo studio della struttura dei p–sottogruppi di Sylow di questi gruppi. Particolare attenzione verra’ fornita al problema della determinazione dei gradi dei caratteri di questi p–gruppi. Tale ricerca si inquadra nel piu’ ambizioso programma di stabilire le relazioni tra la struttura (nilpotenza, risolubilita’, lunghezza derivata, ecc...) di un gruppo e l’insieme dei suoi caratteri irriducibili. Si dimostrera’ ad esempio che i gruppi da noi considerati verificano una congettura dovuta a Huppert (si veda [10]) che afferma che la lunghezza derivata di un p–gruppo e’ limitata superiormente da C log k(𝔓), dove C e’ una costante e k(𝔓) e’ la cardinalita’ dell’insieme dei gradi dei caratteri del gruppo 𝔓. Questa congettura migliora un asserto dovuto a Taketa (si veda [8], Kap. V, pg. 581). Nel capitolo 2 mostreremo la validita’ di questa congettura per questi gruppi, fornendone preliminarmente una descrizione come gruppi di matrici e applicando una tecnica gia’ sviluppata da Huppert in [10]. Un’altra motivazione per la nostra ricerca era stabilire la validita’ di una congettura relativa ai gradi dei caratteri dei p–sottogruppi di Sylow di certi gruppi algebrici definiti sul campo finito con q elementi 𝔽_{q} = GF (q). Tale congettura asserisce che, sotto opportune restrizioni, tali gruppi sono q–power–degree gruppi (si veda [14]), ossia i loro gradi sono tutti q–potenze. Sia 𝔊 ≤ GL(n, q) un gruppo di tipo Lie e 𝔓 un suo p–sottogruppo di Sylow, q una potenza di p. Se p > n, la validita’ di tale congettura era stata mostrata da Kazhdan in [15]. Isaacs in [14] ha eliminato questa restrizione quando il gruppo algebrico e’ della forma 1 + J, ove J = J(𝒜) e’ il radicale di Jacobson di una 𝔽_{q}–algebra finito–dimensionale 𝒜. Nei capitoli 3 e 4 estenderemo questo risultato ai casi denominati come isotropi nel capitolo 2, ossia quando 𝔊 e’ di tipo simplettico, ortogonale con indice di Witt massimale o unitario, tutti operanti su uno spazio di dimensione pari. La dimostrazione poggia su due ingredienti fondamentali. Il primo e’ quello di provare che l’insieme dei gradi dei caratteri di 𝔓 coincide con quello delle lunghezze delle classi di coniugio di un opportuno sottogruppo normale abeliano 𝔄 di 𝔓. Si tratta in sostanza di mostrare che le lunghezze delle orbite dovute all’azione di un gruppo su uno spazio vettoriale e il suo duale sono lo stesse (equivalenza debole). Il secondo consiste nell’introdurre opportune serie di potenze che rivestono un ruolo analogo a quello della mappa esponenziale nella teoria dei gruppi e delle algebre di Lie. Nel capitolo 5, distaccandoci dalla tematica della teoria delle rappresentazioni, determineremo l’esponente dei gruppi relativi al caso isotropo. Tale risultato si basa su delle identita’ combinatorie di interesse proprio.

1.2 Notazioni e definizioni

Aritmetica: Il pavimento (soffitto) di x ∈ ℝ e’ il massimo (minimo) intero minore (maggiore) di x (si veda [7], pg. 67) e sara’ denotato con ⌊x⌋ (⌈x⌉). Δ e’ l’operatore differenza, cioe’, per una generica successione a(n), Δa(n) = a(n) − a(n − 1).

Campi: Come al solito 𝔽_{q} denota il campo di Galois con q elementi, q e’ una p–potenza, per qualche primo p. Dato x ∈ 𝔽_{q^{2}}, scriveremo \overline{x} = x^{q} per il coniugato di x su 𝔽_{q}. Poniamo F = 𝔽_{q^{m}} ove m vale 2 nel caso unitario, 1 altrimenti.

Spazi vettoriali: Dato uno F –spazio vettoriale V, indichiamo con V̂ il relativo spazio duale Hom(V, F).

Matrici: E_{ij} denota la matrice elementare con elemento 1 al posto (i, j) e zero altrimenti. Data una matrice T, indichiamo con T^{t} la trasposta. Se T e’ definita su 𝔽_{q^{2}}, \overline{T} indica la matrice coniugata. Poniamo T^{∗} = (T^{t})^{−1} e T^{h} = \overline{T}^{∗}. Dato un campo F, sia (F)_{n} l’anello delle matrici quadrate di ordine n su F. Gruppi: Dato un gruppo G, indicheremo con S_{p}(G) o G_{p} un elemento di Syl_{p}(G), l’insieme dei p–sottogruppi di Sylow di G. ExpG e’ l’esponente di G, ossia il minimo intero e per cui g^{e} = 1, ∀g ∈ G. Φ(G) denota il sottogruppo di Frattini di G. Per G risolubile, dlG denotera’ la lunghezza della sua serie derivata. Irr(G) e’ l’insieme dei caratteri irriducibili di G.

Supponiamo che χ ∈ Irr(N), dove N ⊴ G, allora Irr(N) diventa un G– insieme tramite χ^{g}(x^{g}) = χ(x), g ∈ G, x ∈ N. Chiamiamo I_{G}(χ) = C_{G}(χ) il sottogruppo di inerzia di χ. Poniamo cdG = {χ(1) : χ ∈ Irr(G)} e k(G) = |cdG|. Sia Ω un G–insieme, allora ω^{G} = {ω^{g} : g ∈ G} e’ la G– orbita di ω ∈ Ω e 𝒪(Ω) = {|ω^{G}| : ω ∈ Ω}. Dati due G–insiemi Ω_{1}, Ω_{2}, diciamo che sono debolmente equivalenti se 𝒪(Ω_{1}) = 𝒪(Ω_{2}).

Gruppi di tipo Lie: Le lettere gotiche saranno riservate ai gruppi di tipo Lie e ai relativi p–sottogruppi. Useremo le notazioni di Carter [3] per i gruppi di tipo Lie. Quindi 𝔊 si riferira’ sempre ad uno dei seguenti gruppi:

1) A_{n}(q), B_{n}(q), C_{n}(q), D_{n}(q), ^{2}A_{2n−1}(q^{2}), ^{2}A_{2n}(q^{2}), ^{2}D_{n}(q), oppure, in notazione classica:

2) P SL_{n+1}(q), P Ω_{2n+1}(q), P Sp_{2n}(q), P Ω_{2n}^{+}(q), P SU_{2n}(q^{2}), P SU_{2n+1}(q^{2}), P Ω_{2n}^{−}(q). 𝔓 = 𝔓(𝔊) denotera’ un opportuno p–sottogruppo di Sylow di 𝔊. Per evidenziare la dipendenza dal rango n, scriveremo talvolta 𝔊_{n}. Se risulta chiaro a quale gruppo ci stiamo riferendo, scriveremo, per brevita’, 𝔓_{n} = 𝔓(𝔊_{n}). Fissato 𝔊, definiamo o(n) e g(n) grazie a q^{o(n)} = |𝔓(𝔊_{n})| e q^{g(n)} = max cd𝔓(𝔊_{n}). Per comodita’ di notazioni, definiamo l’applicazione α come T^{α} = \overline{T}^{t} se 𝔊 e’ unitario, T^{t} altrimenti, ove T varia in (F)_{n}.

8

Struttura e gradi dei caratteri dei p–sottogruppi di Sylow dei gruppi di tipo Lie

2.1 Introduzione

In [10] Huppert determina i gradi dei caratteri dei p–sottogruppi di Sylow di A_{n}(p). La dimostrazione si basa su un procedimento induttivo e tecniche standard della teoria di Clifford che gli consentono di mostrare che l’insieme dei gradi dei caratteri contiene una progressione geometrica di p–potenze con termine iniziale 1 fino ad un certo limite dipendente da n. Applicando un teorema di Itô, riesce a provare che nessun altro grado puo’ apparire. Dopo aver ottenuto una descrizione matriciale conveniente, generalizzeremo questo risultato ai p–sottogruppi di Sylow dei gruppi di tipo Lie. Determineremo un’analoga progressione geometrica contenuta nell’insieme dei gradi dei caratteri, fornendo cosi’ un limite inferiore per il grado massimo. L’uso del teorema di Itô ci fornira’ un limite superiore. Purtroppo questi due limiti non coincidono sempre anche se altri risultati parziali suggeriscono che il limite inferiore coincide col grado massimo. La dimostrazione sara’ per induzione sul rango di 𝔊, purche’ questi sia sufficientemente grande. Nei casi piccoli costruiremo i gradi dei caratteri usando una tecnica dovuta all’autore che stabilisce una connessione tra l’insieme dei gradi e quello delle lunghezze delle classi di coniugio di un opportuno sottogruppo normale abeliano 𝔄 di 𝔓.

2.2 Descrizione matriciale

Sia V = V (l, F) lo spazio vettoriale l–dimensionale su F, dove l e’ l’indice che compare nella lista 2) della sezione 1.2. E’ ben noto (si veda [2]) che 𝔊_{n} puo’ essere definito come un’opportuna sezione del gruppo 𝔘 delle trasformazioni lineari unimodulari che preservano una forma semilineare h(x, y), a meno che 𝔊 sia di tipo ortogonale e p = 2. Tranne questi casi, l’ordine del centro e l’indice del sottogruppo derivato di 𝔘 sono sempre p′–numeri. Per cui possiamo, a meno di isomorfismi, pensare che 𝔓_{n} sia effettivamente un p– sottogruppo di Sylow di 𝔘. A meno di coniugare in GL(l, F), possiamo supporre che h(x, y) sia rappresentata dalle seguenti matrici E (si confronti [8], Kap. II):

1. Per A_{n}(q), non e’ definita alcuna struttura metrica, quindi si ponga semplicemente E = 0.

2. Per B_{n}(q), q dispari, h(x, y) e’ una forma bilineare simmetrica non singolare e V e’ somma ortogonale di n piani iperbolici e lo spazio

generato da un vettore anisotropo. Quindi E = ( \begin{matrix}0 & 0 & I_{n} \\ 0 & 1 & 0 \\ I_{n} & 0 & 0 \end{matrix} ).

3. Per C_{n}(q), h(x, y) e’ una forma non singolare alternante e V e’ la

somma ortogonale di n piani iperbolici. Quindi E = ( \begin{matrix}0 & I_{n} \\ −I_{n} & 0 \end{matrix} ).

4. Per D_{n}(q), q dispari, h(x, y) e’ una forma simmetrica non singolare e V

e’ la somma ortogonale di n pani iperbolici. Quindi E = ( \begin{matrix}0 & I_{n} \\ I_{n} & 0 \end{matrix} ).

5. Per ^{2}A_{2n−1}(q^{2}), h(x, y) e’ una forma non singolare hermitiana e V e’

la somma ortogonale di n piani iperbolici. Quindi E = ( \begin{matrix}0 & I_{n} \\ I_{n} & 0 \end{matrix} ).

6. Per ^{2}A_{2n}(q^{2}), h(x, y) e’ come sopra e V e’ la somma ortogonale di n piani iperbolici e uno spazio monodimensionale generato da un vettore

anisotropo. Quindi E = ( \begin{matrix}0 & 0 & I_{n} \\ 0 & 1 & 0 \\ I_{n} & 0 & 0 \end{matrix} ).

7. Per ^{2}D_{n}(q), q dispari, h(x, y) e’ una forma simmetrica non singolare e V e’ la somma ortogonale di n − 1 piani iperbolici e uno spazio anisotropo 2–dimensionale. Per cui E = ( \begin{matrix}0 & 0 & I_{n−1} \\ 0 & C & 0 \\ I_{n−1} & 0 & 0 \end{matrix} ), ove

C = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −ν \end{matrix} ) e ν ∈ 𝔽_{q} ∖ 𝔽_{q}^{2}.

I casi 2, 6, 7 verranno detti anisotropi. Preservare la struttura metrica equivale a richiedere la seguente condizione

G^{α}EG = E,  (2.1)

Sia G = ( \begin{matrix}T & 0 & 0 \\ vT & I & 0 \\ AT & w^{t} & S \end{matrix} ), dove T varia in 𝔓(A_{m}(F)), il gruppo delle matri-

ci unitriangolari basse per un opportuno m e la dimensione di I corrisponde a quella dello spazio anisotropo menzionato nella precedente lista. Se questo non compare, si sottintendera’ che G e’ partizionata in 4 sottomatrici e ci riferiremo a questi come ai casi isotropi. L’equazione 2.1 fornisce le seguenti relazioni tra gli elementi di G (si veda la Tabella 1). Qui 𝔓_{m} denota 𝔓(A_{m}(F)).

Tabella 1: Struttura dei p–sottogruppi di Sylow dei gruppi di tipo Lie.

Tipo  T  S  v  w  A
A_{n}(q)  𝔓_{k} 𝔓_{n−k−1}  -  -  (𝔽_{q})_{(n−k)×(k+1)}
B_{n}(q)  𝔓_{n−1}  T^{∗}  𝔽_{q}^{n}  −v  (𝔽_{q})_{n}
A + A^{t} + v^{t}v = 0
C_{n}(q) 𝔓_{n−1} T^{∗} - - (𝔽_{q})_{n}
A − A^{t} = 0
D_{n}(q) 𝔓_{n−1} T^{∗} - - (𝔽_{q})_{n}
A + A^{t} = 0
2A_{2n−1}(q^{2}) 𝔓_{n−1} T^{h} - - (𝔽_{q^{2}})_{n}
A + \overline{A}^{t} = 0
2A_{2n}(q^{2}) 𝔓_{n−1} T^{h} 𝔽_{q^{2}}^{n} −\overline{v} (𝔽_{q^{2}})_{n}
A + \overline{A}^{t} + \overline{v}^{t}v = 0
2D_{n}(q) 𝔓_{n−2} T^{∗} (𝔽_{q})_{2×(n−1)} −Cv (𝔽_{q})_{n−1}

A + A^{t} + v^{t}Cv = 0

Bisogna ora mostrare che l’insieme 𝔓̃ degli elementi descritti da questa tabella e’ realmente un p–sottogruppo di Sylow.

Lemma 2.2.1 l’insieme 𝔓̃ descritto nella Tabella 1 e’ un p–sottogruppo di Sylow del corrispondente gruppo di tipo Lie. Piu’ esattamente 𝔓̃ = 𝔄 ⋊ 𝔗, per due opportuni sottogruppi 𝔄, 𝔗.

Dim. GL(l, F) opera sull’insieme delle matrici {G^{α}EG} e G ∈ GL(l, F). Allora GL(l, F)_{E} = Stab_{GL(l,F)}(E) e’ un sottogruppo di GL(l, F). Si ponga

ora 𝔗 = \{( \begin{matrix}T & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \\ 0 & 0 & S \end{matrix} )\}, dove T, S sono dati nella Tabella 1. Chiara-

mente 𝔗 ≤ GL(l, F)_{E}. Sia 𝔄 = GL(l, r)_{E} ∩ \{( \begin{matrix}I & 0 & 0 \\ v & I & 0 \\ A & w^{t} & I \end{matrix} )\}, allora 𝔄

e’ l’intersezione di due gruppi, quindi un gruppo lui stesso. Ne segue che 𝔓̃ = 𝔄𝔗, pensato come insieme. Mostriamo che 𝔗 ≤ N_{GL(l,r)}(𝔄). Infatti:

( \begin{matrix}T & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \\ 0 & 0 & S \end{matrix} )^{−1} ( \begin{matrix}I & 0 & 0 \\ v & I & 0 \\ A & w^{t} & I \end{matrix} ) ( \begin{matrix}T & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \\ 0 & 0 & S \end{matrix} ) =

( \begin{matrix}I & 0 & 0 \\ v & I & 0 \\ S^{−1}AT & S^{−1}w^{t} & I \end{matrix} ) ∈ 𝔄.  (2.2)

Quindi 𝔄 permuta con 𝔗 e 𝔓̃ e’ un gruppo. Contiamo il suo ordine. Dobbiamo osservare nei casi anisotropi che, per v fissato, la corrispondenza definita da B = A+ \frac{1}{2} −w^{t}v, per p dispari, e’ una biezione tra gli elementi dell’ultima colonna della Tabella 1 e l’insieme delle matrici soddifacenti B^{α} + B = 0. Il solo caso rimasto e’ quello anisotropo unitario per p = 2. Si consideri questa

partizione A = ( \begin{matrix}α & a_{1} \\ \overline{a}_{2}^{t} & A_{1} \end{matrix} ) e v = (η_{1}, v_{1}). Si denotino con N, T r la norma

e la traccia da 𝔽_{q^{2}} in 𝔽_{q}. Allora il seguente sistema deve essere soddisfatto:

\{ \begin{matrix}A_{1} + \overline{A}_{1}^{t} + \overline{v}_{1}^{t}v_{1} & = & 0 \\ α + \overline{α} + N(η_{1}) & = & 0 \\ \overline{a}_{1} + a_{2} + η_{1}v_{1} & = & 0 \end{matrix}  (2.3)

Si supponga che 𝔽_{q^{2}} = 𝔽_{q}[ρ], allora T r(ρ) = ρ + \overline{ρ} = a ∈ 𝔽_{q}^{∗}, altrimenti ρ = \overline{ρ} ∈ 𝔽_{q}. Si scriva α = α_{1} + α_{2}ρ, α_{i} ∈ 𝔽_{q}, allora

α + \overline{α} + N(η_{1}) = aα_{2} + N(η_{1}) = 0.

Quindi A ha questa forma:

A = ( \begin{matrix}α_{1} & a_{1} \\ \overline{a}_{1}^{t} & A_{1} \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}ρ\frac{N(η_{1})}{T r(ρ)} & 0 \\ η_{1}\overline{v}_{1} & 0 \end{matrix} ) .

Per induzione sulla dimensione concludiamo che A = B + T (v), ove T (v) e’ una matrice triangolare bassa univocamente determinata da v e B e’ una matrice hermitiana, ossia, l’insieme delle matrici A descritte nella Tabella 1, per v fissato, e’ in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle matrici hermitiane. Ne segue che õ(n) = \binom{n+1}{2}, n^{2}, n^{2}, n(n−1), \binom{2n}{2}, \binom{2n+1}{2}, n(n−1), cosi’, õ(n) = o(n). □

I gruppi ortogonali in caratteristica pari richiedono un procedimento leggermente diverso. Sia Q una forma quadratica non degenere definita su V = V (l, q) e h la forma simplettica associata (si veda [2], pg. 8), allora il gruppo ortogonale O_{l}(Q, q) e’ definito da

O_{l}(Q, q) = {G ∈ GL(l, q) : Q(vG) = Q(v) ∀v ∈ V }.

Siccome 𝔽_{q} e’ perfetto, allora d, il difetto di Q, e’ 0 o 1. Per d = 1 si ha l = 2n + 1 e B_{n}(q) ≃ C_{n}(q). Per d = 0, l = 2n. Con un’opportuna scelta per la base e_{1}, …, e_{n}, e_{−1}, …, e_{−n} di V, Q ha la forma

Q(x) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}x_{−i}  o  ∑_{i=1}^{n−1} x_{i}x_{−i} + x_{n}^{2} + x_{n}x_{−n} + αx_{−n}^{2},

dove t^{2} + t + α ∈ 𝔽_{q}[t] e’ irriducibile. Questi casi corrispondono a quelli isotropi e anisotropi in caratteristica dispari. Un vettore v viene detto singolare se Q(v) = 0. Un sottospazio U di v viene detto totalmente singolare se Q(u) = 0 ∀u ∈ U. Usando il teorema di Witt, si puo’ provare che la dimensione dei sottospazi totalmente singolari massimali di V e’ costante e viene detta indice di Witt ν di V. Dato un gruppo ortogonale in caratteristica 2, esiste un omomorfismo 𝒟 da O_{2n}(Q, q) in 𝔽_{2}^{+}, il cosiddetto pseudo– discriminante di Dickson. Sia G ∈ O_{2n}(Q, q) e x′ = Gx. Si supponga che

e′_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}e_{j} + b_{ij}e_{−j},

e′_{−i} = ∑_{j=1}^{n} c_{ij}e_{j} + d_{ij}e_{−j}.

Si ponga Q(e_{i}) = α_{i}, Q(e_{i}) = β_{i}, allora

𝒟(G) = ∑_{i,j}(α_{j}a_{ij}c_{ij} + β_{j}b_{ij}d_{ij} + b_{ij}c_{ij}).

Sia SO_{2n}(Q, q) = ker 𝒟. Se n ≥ 1 e ν ≥ 1, allora Ω_{2n}(Q, q) = SO_{2n}(Q, q) a meno che (q, n, ν) = (2, 2, 2) (si veda [4], pg. 67). Sia V_{0} =< e_{n}, e_{−n} > e Q_{0}, h_{0} le restrizioni di Q, h a V_{0}. Allora h_{0} e’ rappresentata dalla matrice

C = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ). Si ponga, per brevita’, G(T, v, A) = ( \begin{matrix}T & 0 & 0 \\ vT & I & 0 \\ AT & w^{t} & S \end{matrix} ).

Teorema 2.2.2 Sia 𝔓 = {G(T, v, A)}, ove T ∈ 𝔓(A_{n−2}(q)), v = (v_{1}^{t}, …, v_{n−1}^{t}), v_{i} ∈ 𝔽_{q} × 𝔽_{q}, w = Cv, S = T^{∗}, a_{ij} + a_{ji} = h_{0}(v_{i}, v_{j}) e a_{ii} = Q_{0}(v_{i}), allora 𝔓 ∈ Syl_{2}(P Ω_{2n}^{−}(q)).

Dim. Consideriamo i seguenti passi:

1. 𝔄 = {G(0, v, a)} ⊆ 𝔓 e’ un gruppo: Si osservi che a_{ij} +a_{ji} = h_{0}(v_{i}, v_{j}) e’ equivalente a (A + A^{t} + w^{t}v)_{ij} = 0. Ora

G(0, v_{1}, A_{1})G(0, v_{2}, A_{2}) = G(0, v_{3}, A_{3}),

ove v_{3} = v_{1} + v_{2} e A_{3} = A_{1} + A_{2} + w_{1}^{t}v_{2}. Un calcolo diretto mostra che

(A_{3} + A_{3}^{t} + w_{3}^{t}v_{3})_{ij} = 0.

Lo (i, i)–elemento e’

Q_{0}(v_{i}^{(1)}) + Q_{0}(v_{i}^{(2)}) + h_{0}(v_{i}^{(1)}, v_{i}^{(2)}) = Q_{0}(v_{i}^{(3)}).

Quindi 𝔄 e’ moltiplicativamente chiuso e, siccome ogni insieme considerato e’ finito, e’ un gruppo.

2. 𝔅 = {G(0, 0, A)} = 𝔄′: Si osservi che

[G(0, v, A), G(0, x, B)] = G(0, 0, y^{t}v + w^{t}x),

dove y, w = Cx, Cv. Per cui 𝔅 ⊴ 𝔄. Se v = λE_{1i} e x = E_{1j}, allora y^{t}v + w^{t}x = λE_{ij}, i, j = 1, …, n − 1. Allora 𝔅 ≤ 𝔄′. Siccome 𝔄/𝔅 e’ abeliano, vale il segno di eguale.

3. [𝔗, 𝔄] ≤ 𝔄: Siccome G(0, v, A)^{G(T,0,0)} = G(0, vT, T^{t}AT) e

(T^{t}(A + A^{t} + w^{t}v)T)_{ij} = 0,

bisogna controllare solo gli elementi diagonali. Per l’ultimo passo, gli elementi della forma G(0, v, A), dove v = λE_{1i} e A = λ^{2}E_{ii} o v = λE_{2i}, A = αλ^{2}E_{ii} generano 𝔄. Per il primo tipo si ha vT = ∑_{j=1}^{i} λt_{ij}E_{1j} e T^{t}AT = ∑_{j=1}^{i} λ^{2}t_{ij}^{2}E_{jj}, ma Q_{0} (\binom{λt_{ij}}{0}) = λ^{2}t_{ij}^{2}. Per il secondo tipo di generatori la prova e’ simile.

4. 𝔓 ≤ O_{2n}^{−}(q): Basta mostrare che i generatori di 𝔗 e 𝔄 conservano Q. Ora

𝔗 =< T_{i} = I + λE_{i,i−1} + λE_{−i+1,−i} : i = 2, …, n − 1 >

(si confronti [8], pg. 382). Sia x′ l’immagine di x mediante T_{i}, allora

x′_{k} = \{ \begin{matrix}x_{k} + λx_{k−1} & k = i, −i + 1 \\ x_{k} & altrimenti \end{matrix} .

Ora Q(x′) = Q(x) se e solo se

x′_{i}x′_{−i} + x′_{−i+1}x′_{i−1} = x_{i}x_{−i} + x_{−i+1}x_{i−1},

che e’ facilmente verificata. Per i generatori di 𝔄 del primo tipo, ossia G(0, v, A), con v = λE_{1i}, A = λ^{2}E_{ii},

x′_{k} = \{ \begin{matrix}x_{n} + λx_{i} & k = n \\ λ^{2}x_{−k} + λx_{−n} + x_{k} & k = −i \\ x_{k} & altrimenti \end{matrix} .

ed analogamente per quelli del secondo tipo. Anche qui un calcolo diretto completa la prova.

5. 𝔓 ≤ Ω_{2n}(q): Occorre controllare che 𝒟(G) = 0 per ogni generatore G di 𝔓. Se G = T_{i}, allora b_{ij} = c_{ij} = 0, i, j = 1, …, n e 𝒟(T_{i}) = 0. Per G = G(0, λE_{1k}, λ^{2}E_{kk}), nuovamente b_{ij} = 0. Siccome α_{i} = 0 per i < n, allora

𝒟(G) = ∑_{i} a_{in}c_{in} = a_{kn}c_{kn} + a_{nn}c_{nn} = 0,

poiche’ c_{kn} = c_{nn} = 0. Vale una conclusione analoga se G e’ un generatore del secondo tipo.

6. Conclusione: Siccome o(n) non dipende dalla caratteristica (si veda [2], pg. 10), allora 𝔓 = 𝔓(^{2}D_{n}(q)). □

Teorema 2.2.3 𝔓 = \{( \begin{matrix}T & 0 \\ AT & T^{∗} \end{matrix} )\} ∈ Syl_{2}(D_{n}(q)), ove T ∈ 𝔓(A_{n−1}(q))

e a_{ij} + a_{ji} = a_{ii} = 0.

Dim. Basta ripetere con le dovute modificazioni la prova del teorema 2.2.2 e osservare che nel caso eccezionale (q, n, ν) = (2, 2, 2),

Ω_{4}^{−}(2) ≃ SL(2, 2) × SL(2, 2)

e questo gruppo ha un 2–sottogruppo di Sylow isomorfo a C_{2} × C_{2} che e’ a sua volta isomorfo a 𝔓. □

2.3 Passo induttivo

Determineremo una successione esatta breve spezzante che ci consentira’ di stabilire un procedimento induttivo di dimostrazione. Siccome il caso lineare e’ gia’ stato trattato in [10], ci limiteremo ai restanti casi. Questo ci consentira’ di descrivere gli elementi di 𝔓 grazie a tre parametri T, A, v come segue:

G(T, v, A) = ( \begin{matrix}T & 0 & 0 \\ vT & I & 0 \\ AT & w^{t} & S \end{matrix} ) .

Diremo che w, S sono i parametri duali associati a v, T.

Lemma 2.3.1 Esiste una successione esatta

1 ⟶ 𝔑 ⟶ 𝔓_{n} ⟶ 𝔓_{n−1} ⟶ 1  (2.4)

ed un complemento 𝔖 per 𝔑 in 𝔓_{n} con la proprieta’ 𝔖 ≃ 𝔓_{n−1}.

Dim. Esprimiamo esplicitamente coniugio e prodotto in 𝔓_{n}.

G(T, v, A)G(P, x, B) = G(T P, v + xT^{−1}, A + w^{t}xT^{−1} + SBT^{−1}) (2.5)

Ripartiamo A, T, v e, analogamente, B, P, x come segue:

A = ( \begin{matrix}α & a_{1} \\ a_{2}^{t} & A_{1} \end{matrix} ) , T = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ t^{t} & T_{1} \end{matrix} ) , v = (η, v_{1}).

Si definiscano 𝔑, 𝔖 come i sottoinsiemi di 𝔓 i cui elementi soddisfano: A_{1} = 0, T_{1} = I, v_{1} = 0 e t = 0, α, η = 0, a_{i} = 0. Usando l’equazione 2.5, si ottiene che 𝔑 e 𝔖 sono moltiplicativamente chiusi. Contando gli ordini si ha 𝔑𝔖 = 𝔓 e, per definizione, 𝔑 ∩ 𝔖 = 1. 𝔑 ⊴ 𝔓 equivale a 𝔖 ≤ N_{𝔓}(𝔑). Si osservi semplicemente che

G(P, x, B)^{−1} = G(P^{−1}, −xP^{−1}, Q^{−1}(−B + y^{t}x)P),

ove Q, y sono i parametri duali associati a P, x, e si effettui un semplice calcolo. Ovviamente 𝔖 ≃ 𝔓_{n−1} per costruzione. □

Siccome il nostro scopo e’ di esibire caratteri lineari di 𝔑, abbiamo bisogno di descrivere 𝔑′.

Lemma 2.3.2 𝔑′ = \{G(I, 0, A)\}, ove A = ( \begin{matrix}α & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ).

Dim. Con la notazione del lemma 2.2.1, 𝔑 = (𝔑 ∩ 𝔄)(𝔑 ∩ 𝔗) = 𝔄_{1}𝔗_{1}. Chiaramente 𝔗_{1} e’ abeliano. Quindi 𝔑′ = [𝔄_{1}, 𝔗_{1}]𝔄′_{1}. Sia v = (η, 0), x =

(ξ, 0), T = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ t & I \end{matrix} ) e A = ( \begin{matrix}α & a_{1} \\ a_{2}^{t} & 0 \end{matrix} ). Allora

[G(I, v, A), G(T, 0, 0)] = G(I, 0, S^{−1}AT − A)  (2.6)

e

S^{−1}AT − A = ( \begin{matrix}−sa_{2}^{t} + a_{1}t^{t} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

Inoltre

[G(I, v, A), G(I, x, B)] = G(I, 0, w^{t}x − y^{t}v),

dove w, y sono i parametri duali relativi a v, x. Questo commutatore e’ ba-

nale a meno che 𝔊 =^{2}A_{2n}(q^{2}), nel qual caso w^{t}x−y^{t}v = ( \begin{matrix}−\overline{η}ξ + \overline{ξ}η & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ). □

Teorema 2.3.3 Esiste λ ∈ Irr(𝔑/𝔑′) tale che ℑ/𝔑 ≃ 𝔓_{n−2}, ove ℑ = I_{𝔓_{n}}(λ).

Dim. Si ponga come al solito

T = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ t^{t} & I \end{matrix} ) , S = ( \begin{matrix}1 & s \\ 0 & I \end{matrix} ) , v = (η, 0), w = (ψ, 0), A = ( \begin{matrix}α & a_{1} \\ a_{2}^{t} & 0 \end{matrix} ) ,

cosi’ che G(T, v, A) ∈ 𝔑 e

P = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & P_{1} \end{matrix} ) , Q = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & Q_{1} \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & B_{1} \end{matrix} ) , x = (0, x_{1}), y = (0, y_{1}),

di modo che G(P, x, B) ∈ 𝔖. Allora otteniamo

G(T, v, A)^{G(P,x,B)} = G(T^{P} , z, C)  (2.7)

dove C = ( \begin{matrix}γ & c_{1} \\ c_{2}^{t} & 0 \end{matrix} ), c_{1} = ψ^{t}x_{1} + sB_{1} + a_{1} e z = (η − x_{1}t^{t}, 0).

Si supponga che 𝔽_{q} = 𝔽_{p^{m}} = 𝔽_{p}[ρ], cioe’, ρ e’ un elemento primitivo per 𝔽_{q} su 𝔽_{p}, e si definisca

π_{0}(d_{0} + d_{1}ρ + … + d_{m−1}ρ^{m−1}) = d_{0}, d_{i} ∈ 𝔽_{p}.

Denotiamo con e_{i} l’i–simo vettore della base standard e definiamo

λ_{i}(G(T, v, A) = ε^{π_{0}(a_{1}e_{i}^{t})},

dove ε^{p} = 1 ≠ ε ∈ ℂ^{∗}. Per il lemma 2.3.2 la moltiplicazione in 𝔑 corrisponde all’addizione tra le componenti di a_{1}, a_{2}. Cosi’ λ_{i} e’ effettivamente un carattere di 𝔑. A causa dei calcoli precedenti e del prossimo lemma, ℑ e’ determinato dalla condizione:

(ψ^{t}x_{1} + sB_{1} + a_{1})P_{1}e_{i}^{t} = a_{1}e_{i}^{t}  ∀ψ, s, a_{1}.  (2.8)

Per i = 1, questa ci fornisce P_{1} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & P_{2} \end{matrix} ), B_{1} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & B_{2} \end{matrix} ) e x_{1} =

(0, x_{2}), cioe’ ℑ/𝔑 ≃ 𝔓_{n−2}. □

Per completare la prova dobbiamo giustificare la condizione 2.8. Apparentemente bisognerebbe richiedere che π_{0}(a_{1}e_{i}^{t}) rimanga costante. Mostriamo che nella suddetta situazione questo implica la condizione piu’ forte a_{1}e_{i}^{t} = 0.

Lemma 2.3.4 Si supponga che α_{i}, ξ_{i} ∈ 𝔽_{q} e μ sia definita da μ(∑ α_{i}ξ_{i}) = ε^{π_{0}(∑ α_{i}ξ_{i})}, allora μ rimane costante quando ξ varia arbitrariamente se e solo se α_{i} = 0 ∀i.

Dim. Si osservi semplicemente che un campo ha solo ideali banali. □

2.4 Ricorrenze lineari

Siamo ora in grado di provare l’esistenza di sottoinsiemi consistenti C_{n} di cd𝔓_{n}. Sia C_{n} = {q^{j} | 0 ≤ j ≤ f(n)}, dove f(n) e’ una funzione da determinare e si denoti {q^{j} | k ≤ j ≤ f(n) + k} con q^{k}C_{n}. Per i risultati della sezione precedente, si sa che cd𝔓_{n−1} ⊆ cd𝔓_{n}. Siccome 𝔓 = 𝔑 ⋊ 𝔖, il carattere λ si estende ad un carattere λ_{0} ∈ Irr(ℑ). Grazie ad un teorema di Gallagher (si veda [13], pg. 85) vale Irr(ℑ|λ^{ℑ}) = {λ_{0}ψ | ψ ∈ Irr(ℑ/𝔑)}. Per la teoria di Clifford (vedi [8], pg. 571), (λ_{0}ψ)^{𝔓} ∈ Irr𝔓. Ora (λ_{0}ψ)^{𝔓}(1) = ψ(1)|𝔓 : ℑ|. Ma

|𝔓_{n} : ℑ| = |𝔓_{n}/𝔑 : ℑ/𝔑| = |𝔓_{n−1} : 𝔓_{n−2}| = q^{Δo(n−1)}.

Per cui q^{Δo(n−1)}cd𝔓_{n−2} ⊆ cd𝔓_{n}. Definiamo f(n) ricorsivamente mediante

f(n) = f(n − 2) + Δo(n − 1).  (2.9)

Se f(n − 1) ≥ Δo(n − 1) − 1, si ottiene che C_{n} = C_{n−1} ∪ q^{Δo(n−1)}C_{n−2}. Quindi C_{n} ⊆ cd𝔓_{n}. Risolviamo ora la ricorrenza 2.9 e determiniamo f(n). Per come la ricorrenza e’ definita, e’ conveniente distinguere i casi n pari, n dispari. Scriveremo n = 2m, 2m + 1 e, sostituendo in 2.9, otterremo una ricorrenza lineare di passo 1 in m. Basta fornire le condizioni iniziali adeguate.

Lemma 2.4.1 Sia G un gruppo nilpotente di classe 2. Si supponga che ∀g ∉ Z(G), G′ = {[g, h] : h ∈ G}, allora cdG = {1, q} e q^{2} = |G : Z(G)|.

Dim. Se χ ∈ Irr(G), con χ(1) > 1, si scelga h ∈ G in modo che g^{h} = gz, con z ∉ ker χ. Allora χ(g) = χ(g^{h}) = χ(zg) = λ(z)χ(g), dove λ e’ la restrizione di χ al centro. Siccome z ∉ ker χ, λ(z) ≠ 1 e χ(g) = 0. Usando le relazioni di ortogonalita’ abbiamo χ(1)^{2} = |G : Z(G)| = q^{2}. □

Lemma 2.4.2 Per n = 0, 1, 𝔓_{n} e’ abeliano, tranne il caso ^{2}A_{2}(q^{2}) il cui p–sottogruppo di Sylow ha gradi 1, q.

Dim. 𝔓_{n} e’ ridotto all’identita’ o e’ abeliano elementare di ordine q, tranne nel caso eccezionale. Si denoti il generico elemento di questo gruppo

mediante g(x, y) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ y & −\overline{x} & 1 \end{matrix} ), con x, y ∈ 𝔽_{q^{2}} e y + \overline{y} + x\overline{x} = 0. Allora

[g(w, z), g(x, y)] = g(0, \overline{x}w − \overline{w}x). Indi

Z(𝔓) = 𝔓′ = \{g(0, y) : y + \overline{y} = 0\}.

Se g ∉ Z(𝔓), allora 𝔓′ = {[g, h] h ∈ 𝔓}. Si applichi ora il lemma 2.4.1. □

Questo significa che f(n) = 0 quando m = 0, ma f(1) = 1 nel caso eccezionale. La Tabella 2 mostra le soluzioni della ricorrenza 2.9.

Tabella 2: Determinazione di o(n), f(n), Δo(n), i(n), ove n = 2m, 2m + 1.

Tipo  o(n)  Δo(n − 1)  f(n)  i(n)
A_{n}(q)  \binom{n+1}{2}  n − 1  m^{2}  m^{2}
(m + 1)m  (m + 1)m
B_{n}(q) n^{2} 2n − 3 (2m − 1)m 2m^{2} + m + 1
(2m + 1)m  (2m + 3)m
C_{n}(q) n^{2} 2n − 3 (2m − 1)m (2m − 1)m
(2m + 1)m  (2m + 1)m
D_{n}(q) n(n − 1) 2(n − 2) 2m(m − 1) (2m − 1)m
2m^{2}  (2m + 1)m
2A_{2n−1}(q^{2}) \binom{2n}{2} 4n − 7 (4m − 3)m 2m(2m − 1)
(4m + 1)m  2m(2m + 1)
2A_{2n}(q^{2}) \binom{2n+1}{2} 4n − 5 (4m − 1)m 4m^{2} + 2m − 1
4m^{2} + 3m + 1 4m^{2} + 6m + 1
2D_{n}(q) n(n − 1) 2(n − 2) 2m(m − 1) 2m^{2} + m − 3
2m^{2}  2m^{2} + 3m − 2

2.5 Limiti di tipo Itô

In forza di un celeberrimo teorema dovuto a Itô, il grado di un carattere irriducibile divide sempre l’indice di un sottogruppo abeliano subnormale. Sfortunatamente esistono gruppi per cui questo limite non viene raggiunto e, in secondo luogo, la determinazione di sottogruppi abeliani puo’ rivelarsi un compito difficile. Noi determiniamo qui l’indice di sottogruppi abeliani di 𝔓 che risultano facili da descrivere. Poiche’ non escludiamo l’esistenza di sottogruppi abeliani di ordine possibilmente maggiore, useremo l’espressione di tipo Itô. Ci limiteremo a mostrare che i sottogruppi esibiti sono massimali rispetto al requisito di essere abeliani.

Lemma 2.5.1 i(n) come dato nella Tabella 1 e’ un limite superiore per g(n).

Dim. Nei casi isotropi questo limite e’ ottenuto considerando che 𝔄 e’ abeliano. Nel caso lineare e simplettico si vede che il limite di Itô viene raggiunto, quindi 𝔄 e’ necessariamente massimale abeliano. Per D_{n}, non e’ vero, siccome 𝔓(D_{2}) e’ abeliano, ma si ha massimalita’ non appena n ≥ 3. Si supponga per induzione che T^{t}BT = B, ∀B antisimmetrica di ordine n, n ≥ 3, implichi T = I. Si consideri la corrispondente equazione in dimensione n + 1:

( \begin{matrix}1 & t \\ 0 & T^{t} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & −b \\ b^{t} & B \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ t^{t} & T \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & −b \\ b^{t} & B \end{matrix} )  ∀B, b, (2.10)

allora T = I e tB = 0. Poiche’ l’ordine di B e’ almeno 2, ne segue che t = 0. Ancora una volta questo non implica che l’ordine sia massimale. Usando l’isomorfismo tra 𝔬_{3} e 𝔰l_{3}, le algebre di Lie lineare speciale e ortogonale, si ha che 𝔓(D_{3}) ≃ 𝔓(A_{3}) e questo gruppo possiede un ovvio sottogruppo abeliano normale di ordine q^{4}. Nel caso isotropo unitario, si osservi che un elemento di 𝔗 commuta con ogni elemento di 𝔄 se e solo se \overline{T}^{t}AT = A, per ogni matrice antihermitiana A. Sia A = ρI, dove \overline{ρ} = −ρ, allora T = T^{h} = I, siccome queste sono matrici unitriangolari basse. Nel caso anisotropo si definisca 𝔅 = {G(I, 0, A)}, dove A soddisfa la condizione della Tabella 1. Chiaramente 𝔅 e’ un sottogruppo normale abeliano. Se 𝔊 =^{2} A_{2n}(q^{2}), B_{n}(q), n ≥ 3 oppure ^{2}D_{n}(q), n ≥ 4, ragionando come nel caso isotropo ortogonale, si ha C_{𝔓}(𝔅) = 𝔄. Quindi un sottogruppo massimale abeliano 𝔐 contenente 𝔅, e’ contenuto a sua volta in 𝔄. Sia G(I, v, A) ∈ 𝔐, ove v ≠ 0, allora G(I, x, B) ∈ 𝔐 se e solo se

w^{t}x = y^{t}v.  (2.11)

Per B_{n}(q), si ha v^{t}x = x^{t}v. Si supponga che v_{1} ≠ 0, allora v_{1}x_{i} = x_{1}v_{i}, cioe’ x = γv, dove γ ∈ 𝔽_{q}. Per ^{2}A_{2n−1}(q^{2}), otteniamo \overline{v}^{t}x = \overline{x}^{t}v, quindi di nuovo x = γv. Sostituendo, abbiamo (γ − \overline{γ})v^{t}v = 0, per cui γ = \overline{γ} ∈ 𝔽_{q}. In entrambi i casi |𝔐| = q|𝔅|. Per ^{2}D_{n}(q), coniugando per un opportuno elemento diag(T, I, S), dove T e’ una matrice triangolare bassa con elementi diagonali invertibili e S e’ data dalla Tabella 1, possiamo pensare che v = \binom{e_{i}}{v_{2}}, dove i e’ il massimo indice tale che v_{i} ≠ 0. Per l’equazione 2.11, G(I, x, B) ∈ 𝔐 se e solo se x = \binom{x_{1}}{x_{2}} = \binom{αe_{i}}{βx_{1}}. Per cui |𝔐| = q^{2}|𝔅|. Il caso n = 1 e’ gia’ stato trattato. Se n = 2 e 𝔊 = B_{n}(q), allora 𝔐 = {G(T, v, A) : v = (η, o)} e’ abeliano di indice q. 𝔓(^{2}D_{2}(q)) e’ elementare abeliano. Per

n = 3, 𝔐 = \{G(T, v, A) : v = ( \begin{matrix}α & 0 \\ β & 0 \end{matrix} )\} e’ massimale abeliano di indice

q^{2}. □

2.6 Casi piccoli

Facemmo notare in precedenza che C_{n} = C_{n−1} ∪ q^{Δo(n−1)}C_{n−2}, purche’

f(n − 1) ≥ Δo(n − 1) − 1.

Controlleremo ove questa condizione non e’ soddisfatta e determineremo in modo differente i gradi mancanti q^{j}, dove

f(n − 1) < j ≤ Δo(n − 1) − 1.

Un’analisi della Tabella 2 mostra che i casi eccezionali sono:

1. B_{n}(q), C_{n}(q): n = 3, j = 2 e n = 4, j = 4.

2. D_{n}(q),^{2}D_{n}(q): n = 3, j = 1; n = 4, j = 3; n = 5, j = 5.

3. ^{2}A_{2n−1}(q^{2}): n = 3, j = 2, 3, 4; n = 4, j = 6, 7, 8; n = 5, j = 11, 12.

4. ^{2}A_{2n}(q^{2}): n = 3, j = 4, 5, 6 e n = 4, j = 9, 10.

Un approccio naturale sarebbe quello di considerare altri caratteri lineari di 𝔑 sperando che per alcuni di loro il relativo sottogruppo d inerzia ℑ abbia indice coincidente con uno dei gradi mancanti. La possibilita’ di estendere tali caratteri a tutto ℑ e tecniche tipiche della teoria di Clifford assicurano che questo indice e’ realmente un grado. Si noti che tale indice e’ dato dal numero di condizioni independenti che un elemento di 𝔖 deve soddisfare per appartenere al sottogruppo di inerzia di un tale carattere. Sfortunatamente questo procedimento non fornisce tutti i gradi desiderati nel caso unitario dove saremo obbligati ad utilizzare una tecnica diversa.

Lemma 2.6.1 Esiste λ_{i} ∈ Irr(𝔑/𝔑′) tale che |𝔓_{n} : ℑ| = q^{d(n,i)}, dove

d(n, i) = \{ \begin{matrix}2n − i − 2 & B_{n}(q), C_{n}(q) \\ 2n − i − 3 & D_{n}(q),^{2}D_{n}(q) \\ 2n − 2i − 3 & ^{2}A_{n}(q^{2}) \end{matrix}

Dim. Proveremo il risultato quando 𝔊 =^{2}D_{n}(q), gli altri casi essendo trattabili in modo analogo. Sia λ_{i} definito come nel teorema 2.3.3. Basta contare il numero di condizioni indipendenti che descrivono ℑ definito come varieta’ su 𝔽_{q}. Si consideri l’equazione 2.8:

(ψ^{t}x_{1} + sB_{1} + a_{1})P_{1}e_{i}^{t} = a_{1}e_{i}^{t} ∀ψ, s, a_{1}.

Sia C_{1} = B_{1} + \frac{1}{2}x_{1}^{t}Cx_{1}, allora C_{1} e’ antisimmetrica.

1. Ponendo ψ, s = 0 otteniamo P_{1}e_{i}^{t} = e_{i}^{t} che e’ equivalente a richiedere l’annullarsi degli n − 2 − i elementi dell’i–sima colonna sotto la diagonale.

2. Ora l’equazione 2.8 si riduce a (ψ^{t}x_{1} + sB_{1})e_{i}^{t} = 0. Sia s = 0, allora (ψ_{1}, ψ_{2})(x_{1i}, x_{2i})^{t} = 0. Quindi l’i–sima colonna di x_{1} e’ zero fornendo due ulteriori condizioni.

3. Questo implica che (ψ^{t}x_{1} − \frac{1}{2}x_{1}^{t}Cx_{1})e_{i}^{t} = 0. Ci rimane la condizione sC_{1}e_{i}^{t} = 0, ∀s. Cio’ significa che l’i–sima colonna della matrice antisimmetrica C_{1} e’ zero, ossia n − 3 condizioni.

Siccome P_{1}, x_{1}, C_{1} sono independenti, abbiamo 2n − i − 3 condizioni. □

Altri caratteri possono essere ottenuti pensando che 𝔗_{1} e’ immagine omomorfa di 𝔓. Nel caso anisotropo si ha un’ulteriore possibilita’.

Lemma 2.6.2 Sia 𝔊 di tipo anisotropo. Esiste λ_{i} ∈ Irr(𝔑/𝔑′) tale che |𝔓_{n} : ℑ| = q^{n−1}, q^{2(n−1)}, q^{n−2}, per B_{n}(q),^{2}A_{2n}(q^{2}),^{2}D_{n}(q) rispettivamente.

Dim. Se v = (η, 0), x = (0, x_{1}) e P = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & P_{1} \end{matrix} ), per coniugio mediante

la matrice G(P, x, B), v viene mappato in (v − x + xT^{−1})P = (η − x_{1}t^{t}, 0). Se λ e’ definito grazie a λ(G(T, v, A)) = ε^{π_{0}(η_{1})}, allora I_{𝔓}(λ) e’ definito dall’annullarsi della prima riga di x_{1}. □

Possiamo ora coprire quasi tutte le lacune lasciate nell’insieme C_{n}.

1. B_{n}(q), C_{n}(q): 4 = d(4, 2) e 2 = d(3, 2).

2. D_{n}(q): 1 = d(3, 2), 3 = d(4, 2) e 5 = d(5, 2).

3. ^{2}D_{n}(q): 3 = d(4, 2) e 5 = d(5, 2). Per n = 3 la dimensione di B_{1} e’ 1, quindi non possiamo porre i = 2. l’ultimo lemma fornisce un carattere di grado q^{n−2} = q per n = 3.

4. ^{2}A_{2n−1}(q^{2}): Per n = 3, 3 = d(3, 2). Per n = 4, 7 = d(4, 1). Per n = 5, 11 = d(5, 2).

5. ^{2}A_{2n}(q^{2}): Per n = 3, 5 = d(3, 2) e 4 = 2(n − 1). Per n = 4, 9 = d(4, 2).

Per completare il caso unitario abbiamo bisogno di un diverso metodo. Infatti i gradi mancanti sono q^{2}, q^{4}, q^{6}, q^{8}, q^{12}, nel caso isotropo, e q^{6}, q^{10}, in quello anisotropo. Ma d(n, i) e’ sempre dispari. Sia 𝔽_{q^{2}} = 𝔽_{q}[ρ]. Si puo’ pensare che ρ soddisfi un’equazione della forma x^{2} −ν = 0, dove ν ∈ 𝔽_{q} ∖𝔽_{q}^{2}, per q dispari o della forma x^{2} +x+a = 0, ove a ∈ 𝔽_{q} ∖{b^{2} +b : b ∈ 𝔽_{q}}, per q pari. Un tale elemento a esiste poiche’ l’endomorfismo ϕ di 𝔽_{q} definito mediante ϕ(b) = b^{2} +b ha un nucleo di ordine 2, indi non e’ suriettivo. Siccome 𝔄 e’ un sottogruppo abeliano elementare, possiamo applicare la tecnica di studiare l’azione di 𝔗 su 𝔄 per coniugio e determinare la lunghezza delle orbite rispetto a questa azione. E’ noto che ci sono anche dei caratteri aventi queste come gradi. Per risolvere il primo problema useremo una tecnica di linearizzazione che riduce il problema originario alla seguente questione, purche’ p sia dispari. Data una matrice antihermitiana A e una matrice unitriangolare bassa N in (𝔽_{q^{2}})_{n}, determiniamo il numero di soluzioni per le equazioni

\overline{N}^{t}A + AN = 0.  (2.12)

Come verra’ mostrato nei capitoli 3 e 4, queste soluzioni sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi del centralizzante di A in 𝔓. Sia A = A_{1} + ρA_{2}, N = N_{1} + ρN_{2}, ove A_{i}, N_{i} ∈ (𝔽_{q})_{n}. Siccome A e’ antihermitiana, si ha che A_{1} e’ antisimmetrica e A_{2} e’ simmetrica. L’equazione 2.12 diventa

(N_{1}^{t} − ρN_{2}^{t})(A_{1} + ρA_{2}) + (A_{1} + ρA_{2})(N_{1} + ρN_{2}) = 0

che e’ equivalente al seguente sistema:

\{ \begin{matrix}N_{1}^{t}A_{1} − νN_{2}^{t}A_{2} + A_{1}N_{1} + νA_{2}N_{2} = & 0 \\ −N_{2}^{t}A_{1} + N_{1}^{t}A_{2} + A_{1}N_{2} + A_{2}N_{1} = & 0 \end{matrix}

Questo si riduce a:

\{ \begin{matrix}−N_{2}^{t}A_{2} + A_{2}N_{2} = & 0 \\ N_{1}^{t}A_{2} + A_{2}N_{1} = & 0 \end{matrix}

per A_{1} = 0. Se usiamo delle matrici A_{2} della forma ( \begin{matrix}I_{r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_{k} \end{matrix} ), dove

r + k ≤ n, troviamo che il numero di soluzioni e’ dato da

l(n, k, r) = (n − k − r)(n − k + r − 1).

Cio’ significa che ci sono dei caratteri aventi grado |𝔗 : C_{𝔗}(A_{2})| (si veda il capitolo 4), ove |C_{𝔗}(A_{2})| = q^{l(n,k,r)}. Ora applichiamo questo risultato per ottenere i gradi mancanti per 𝔊 =^{2}A_{2n−1}(q^{2}).

6. ^{2}A_{2n−1}(q^{2}): Per n = 3, |𝔗| = q^{6} e l(3, 0, 2) = 4, l(3, 1, 1) = 2. Per n = 4, |𝔗| = q^{12} e l(4, 1, 2) = 4, l(4, 1, 1) = 6. Per n = 5, |𝔗| = q^{20} e l(5, 0, 4) = 8.

Come gia’ menzionato, il metodo di linearizzazione non e’ applicabile per p = 2, ma, a posteriori, si puo’ controllare che le stesse matrici A forniscono i gradi mancanti. Mostriamo come questa procedura funziona determinando un carattere avente grado pari a q^{4} ∈ cd𝔓(^{2}A_{5}(q^{2})), q = 2^{m}. Qui n = 3, k =

1, r = 1, per cui A = ( \begin{matrix}ρ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ρ \end{matrix} ) . Si definisca λ ∈ Irr(𝔄) mediante

λ (( \begin{matrix}I & 0 \\ B & I \end{matrix} )) = ε^{π_{m}(b_{11}+b_{33})}, cioe’, λ e’ l’elemento duale corrispondente

alla matrice A. Sia B′ = \overline{T}^{t}BT, ove T ∈ 𝔓(A_{2}(q^{2})). Allora I_{𝔓}(λ) e’ descritto dalle condizioni

b′_{11} + b′_{33} = b_{11} + b_{33} ∀B = \overline{B}^{t}.

Se b_{ij} = 0, i ≤ j, tranne per (i, j) = (1, 2), otteniamo le seguenti condizioni: b_{12}t_{21}+\overline{b}_{12}\overline{t}_{21} = 0, ∀b_{12}. Sostituendo b_{12} con 1, ρ rispettivamente, abbiamo t_{21} = \overline{t}_{21}, e T r(ρ)\overline{t}_{21} = 0, cioe’, t_{21} = 0. Analogamente vale t_{31} = 0. Quindi |𝔓 : ℑ| = q^{4} come desiderato. Nel caso anisotropo l’analogo del sottogruppo normale 𝔄 e’ il gruppo 𝔅 definito nella sezione 2.4. Purtroppo 𝔅 ≤ Φ(𝔄), quindi 𝔅 non puo’ essere complementato in 𝔓 e la tecnica di estendere il carattere al relativo sottogruppo di inerzia fallisce. Noi useremo ancora la tecnica dovuta ad Huppert controllando cdI_{𝔓}(λ_{i})/𝔑, dove i λ_{i} sono definiti nel lemma 2.6.1. Per ^{2}A_{6}(q^{2}), si consideri λ_{2} ∈ Irr(𝔑), allora I_{𝔓}(λ_{2})/𝔑 ≃ 𝔜.

𝔜 = \{G(T, v, A) : T = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ t & 0 \end{matrix} ) , v = (x, 0), A = ( \begin{matrix}−\frac{1}{2} \overline{x}x + α & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )\} ,

dove t, x, α ∈ 𝔽_{q^{2}} e α = \overline{α}. Un facile calcolo mostra che 𝔜′ e’ descritto da t, x = 0 e Z(𝔜) da x = 0. Inoltre, per ogni G ∉ Z(𝔜) vale

𝔜′ = {[G, H] : H ∈ 𝔜}.

Applicando il lemma 2.4.1, abbiamo cd𝔜 = {1, q}. Siccome |𝔓 : I_{𝔓}(λ_{2})| = q^{5}, argomentando come nella sezione 4, vediamo che q^{5}, q^{6} ∈ Irr(𝔓). Per 2A_{8}(q^{2}) otteniamo analogamente che I(λ_{2})/𝔑 ≃ 𝔛, dove

𝔛 = \{G(T, V A) : T = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & 0 & 1 \end{matrix} ) , v = (c, 0, d), A = ( \begin{matrix}e & 0 & f \\ 0 & 0 & 0 \\ g & 0 & h \end{matrix} )\} .

Se poniamo 𝔉 ≤ 𝔛, definito dall’annullarsi di d, g, allora 𝔛/𝔉 e’ un gruppo dotato delle proprieta’ di cui al lemma 2.4.1. Come sopra concludiamo che q^{9}, q^{10} ∈ Irr(𝔓). Possiamo ora enunciare il nostro risultato.

Teorema 2.6.3 Sia 𝔓_{n} un p–sottogruppo di Sylow di un gruppo di tipo Lie, allora {q^{j} : 0 ≤ j ≤ f(n)} ⊆ cd𝔓_{n} e max cd𝔓_{n} ≤ q^{i(n)}, dove f(n), i(n) sono determinati nella Tabella 2.

Bisogna risolvere due problemi. Il primo e’ quello di ottenere l’esatto valore per g(n) e il secondo e’ quello di escludere l’esistenza di gradi che non siano q–potenze. Questo e’ stato recentemente stabilito da Isaacs e dall’autore nei casi isotropi. Una seconda congettura avanzata da Huppert in [10] e’ un rafforzamento del limite dovuto a Taketa. Egli provo’ che gli M–gruppi G sono risolubili e che la loro lunghezza derivata e’ limitata da k(G). Huppert ha osservato che per alcune classi di p–gruppi tale limite si riduce a C log k(G). Il nostro risultato implica che la congettura e’ vera per i gruppi da noi trattati.

Corollario 2.6.4 Sia 𝔓 un p–sottogruppo di Sylow di un gruppo di tipo Lie, allora dl𝔓 ≤ log k(𝔓).

Dim. Siccome questi gruppi sono contenuti nel p–sottogruppo di Sylow di GL(l, r), dove l e’ l’indice nella lista 2), allora dl𝔓_{n} ≤ log(2n + 2). D’ altra parte k(𝔓_{n}) ≥ \frac{(n−1)^{2}}{4} . □

Classi di coniugio e gradi dei caratteri nei p–sottogruppi di Sylow dei gruppi lineari e simplettici

3.1 Introduzione

Denotiamo con 𝔊 i gruppi SL(n, q) o Sp(2n, q). Sia 𝔓 un p–sottogruppo di Sylow di 𝔊. Determineremo l’insieme delle lunghezze delle classi di coniugio di opportuni sottogruppi normali abeliani 𝔄 di 𝔓 e useremo queste informazioni per ottenere i gradi dei caratteri irriducibili di 𝔓. Dato un gruppo G agente su uno spazio vettoriale V, e’ noto che V e il relativo spazio duale V̂ non sono necessariamente G–equivalenti, se l’azione non e’ coprima. Introdurremo una versione piu’ debole di G–equivalenza e mostreremo che questa e’ un requisito sufficiente ad assicurare l’identita’ tra l’insieme delle lunghezze delle classi di coniugio e quello dei gradi dei caratteri quando q = p, p dispari. Alcuni risultati parziali sono ottenuti quando q = p^{m}, m > 1, usando una tecnica di linearizzazione basata sulla teoria delle serie di potenze formali. La motivazione di questo approccio non risiede tanto nella determinazione dei gradi dei caratteri di 𝔓, quanto nella possibilita’ di fornire tecniche che ci consentiranno di stabilire nel prossimo capitolo che i gradi sono tutti q–potenze. La dimostrazione si sviluppa attenendosi al seguente schema :

a. Determinazione di un sottogruppo normale abeliano 𝔄 di 𝔓 di ordine massimale tale che

1 ⟶ 𝔄 ⟶^{j} 𝔓 ⟶^{π} 𝔗̃ ⟶ 1  (3.1)

sia una sequenza esatta spezzante.

b. Determinazione delle lunghezze delle orbite dovute all’azione di 𝔗 su 𝔄, ove 𝔗 ≃ 𝔗̃ e’ il complemento di 𝔄 in 𝔓.

c. Provare che le stesse lunghezze compaiono nell’azione duale.

d. Usare alcuni risultati inerenti la teoria di Clifford per ottenere i gradi dei caratteri desiderati quando q = p.

3.2 Risultati preliminari

Lemma 3.2.1 Supponiamo che G sia un’estensione spezzante di un suo sottogruppo normale N, allora ogni carattere lineare λ ∈ Irr(N) puo’ essere esteso al suo sottogruppo di inerzia I_{G}(λ).

Dim. Supponiamo che K sia un complemento di N in G, allora, per l’identita’ di Dedekind, vale I = I_{G}(λ) = N(I_{G}(λ) ∩ K) = NK̃. Si definisca λ_{0}(ax) := λ(a), dove a ∈ N, x ∈ K̃. Sia ab = a′b′, allora a^{−1}a′ = bb^{′−1} ∈ N ∩ K̃ = 1, quindi a = a′, b = b′ e λ_{0} e’ ben definito.

λ_{0}(axby) = λ_{0}(abx^{b}y) = λ(ab) = λ(a)λ(b) = λ_{0}(ax)λ_{0}(by)  (3.2)

dimostra che anche λ_{0} e’ un carattere di I_{G}(λ) che estende λ (si confronti anche [13], Ex. 6.18 per un asserto piu’ generale ). □

Lemma 3.2.2 Supponiamo che G = A ⋊ T, ove A ⊴ G abeliano, allora cdG = {β(1)|G : I_{G}(λ)| : λ ∈ Irr(A) e β ∈ Irr(I_{G}(λ)/A)}.

Dim. Sia ψ ∈ Irr(G), allora ψ_{A} = e(ψ) ∑_{i} λ_{i}, quindi, grazie alla legge di reciprocita’ di Frobenius, e(ψ) = (ψ_{A}, λ) = (ψ, λ^{G}). Ma, in forza del teorema di Gallagher (si veda [13], pg. 85), λ^{G} = ∑_{i}(λ_{0}β_{i})^{G}, dove λ_{0} ∈ Irr(I_{G}(λ)) e’ un carattere lineare estendente λ e β_{i} varia in Irr(I_{G}(λ)/A). Per la teoria di Clifford (λ_{0}β_{i})^{G} ∈ Irr(G), allora ψ = (λ_{0}β_{i})^{G} per un opportuno indice i. Tuttavia, come facile conseguenza della definizione di carattere indotto ,

(λ_{0}β_{i})^{G}(1) = λ_{0}(1)β(1)|G : I_{G}(λ)| = β(1)|G : I_{G}(λ)|,  (3.3)

come affermato. □

In particolare, per β, il carattere banale in Irr(I_{G}(λ)/A), λ_{0}^{G} ∈ Irr(G), indi λ_{0}^{G}(1) = |G : I_{G}(λ_{0})| ∈ cdG. Il nostro problema si riduce alla ricerca di convenienti caratteri lineari di un sottogruppo normale, di modo che ogni grado si possa ottenere come descritto sopra. E’ stato congetturato che per 𝔓 ∈ Syl_{p}(ℒ_{n}(𝔽_{q})), ℒ_{n}(𝔽_{q}) un gruppo di Lie classico, cd𝔓 e’ costituito da q– potenze. Grazie al precedente lemma, cio’ implicherebbe che |G : I_{G}(λ_{0})| e’ una q–potenza. Dimostreremo che questo e’ vero nelle situazioni considerate, fornendo cosi’ una parziale conferma di questa congettura. Si noti che la richiesta relativa ai gradi dei caratteri e’ equivalente ad asserire che ∀A ⊴ G, ∀ λ ∈ Irr(A) e ∀ β ∈ Irr(I_{G}(λ)/A), β(1) e’ una q–potenza. Si osservi che nel caso simplettico I_{G}(λ)/A ≲ 𝔗_{1} × 𝔗_{2}, ove 𝔗_{i} ∈ Syl_{p}(SL(m_{i}, q)) per opportuni m_{i}. Siccome ogni p–gruppo finito puo’ essere immerso in tali gruppi, la validita’ della congettura sui gradi dei caratteri implicherebbe severe restrizioni sulla struttura dei sottogruppi di inerzia I_{𝔓}(λ) (usando la terminologia di Isaacs in [14] sono sottogruppi forti). Ci preoccupiamo ora di sviluppare la dimostrazione distinguendo i due casi possibili.

3.3 Lunghezze delle orbite

In [10] Huppert ha definito la seguente funzione:

f(n) = \{ \begin{matrix}\frac{(n−1)^{2}}{4} & n dispari \\ \frac{n(n−2)}{4} & n pari \end{matrix}  (3.4)

Il risultato principale di questa e la prossima sezione e’:

Teorema 3.3.1 (Lunghezza delle orbite) Supponiamo che 𝔓 ∈ Syl_{p}(ℒ_{n}(𝔽_{q})), dove ℒ_{n}(𝔽_{q}) e’ uno dei precedenti gruppi di tipo Lie di grado n sul campo finito con q elementi, q dispari nel caso simplettico. Si ponga

g(n) = \{ \begin{matrix}f(n) & ℒ_{n}(𝔽_{q}) lineare \\ \binom{\frac{n}{2}}{2} & ℒ_{n}(𝔽_{q}) simplettico \end{matrix}  (3.5)

allora 𝒪(𝔄) = {q^{j} : 0 ≤ j ≤ g(n)}.

Avremo bisogno del seguente ben noto lemma:

Lemma 3.3.2 A e’ un sottogruppo abeliano massimale di G se e soltanto se A si autocentralizza.

Dim. Ovvia. □

3.3.1 Il caso lineare

Teorema 3.3.3 𝔓 e’ un’estensione spezzante di un sottogruppo normale abeliano massimale 𝔄.

Dim. Si ponga k = n − r e si consideri

𝔄 = \{( \begin{matrix}I_{r} & 0 \\ A & I_{k} \end{matrix} ) : A ∈ (𝔽_{q})_{k×r}\}  (3.6)

e

𝔗_{rk} = 𝔗 = \{( \begin{matrix}X & 0 \\ 0 & Y \end{matrix} ) : X ∈ SL(r, 𝔽_{q})_{p} Y ∈ SL(k, 𝔽_{q})_{p}\} ,  (3.7)

allora 𝔓 = 𝔄𝔗, 𝔄 ∩ 𝔗 = 1 e 𝔄 e’ un sottogruppo normale abeliano elementare (si noti che e’ 𝔗–invariante).

Ora mostriamo che 𝔄 e’ massimale in 𝒜 = {𝔅 ≤ 𝔓 : 𝔅′ = 1}. E’ sufficiente provare che 𝔄 si autocentralizza. Altrimenti, per l’identita’ di Dedekind, dovrebbe esistere un elemento di 𝔗 che commuta con ogni elemento di 𝔄:

( \begin{matrix}X^{−1} & 0 \\ 0 & Y^{−1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}I & 0 \\ A & I \end{matrix} ) ( \begin{matrix}X & 0 \\ 0 & Y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}I & 0 \\ Y^{−1}AX & I \end{matrix} )  (3.8)

Quindi Y^{−1}AX = A ∀A ∈ (𝔽_{q})_{k×r}. Orlando A e X come segue: A =

(A_{1}, a_{1}^{t}), X = ( \begin{matrix}X_{1} & 0 \\ x_{2} & 1 \end{matrix} ), otteniamo

(Y^{−1}A_{1}X_{1} + Y a_{1}^{t}x_{2}, Y^{−1}a_{1}^{t}) = (A_{1}, a_{1}^{t})  (3.9)

Poiche’ a_{1}^{t} e’ arbitrario, cio’ implica che Y = I. Ponendo A_{1} = I, a_{1} ≠ 0, si ha X_{1} = I. Infine, per A_{1} = 0, si ha x_{2} = 0. □

Noi siamo particolarmente interessati ai sottogruppi normali abeliani di indice minimale. Questo corrisponde alla seguente scelta per r.

Si ponga ε ≡ n (mod 2), ove ε ∈ \{0, 1\} e r = \frac{n+ε}{2}. L’importanza di stabilire che 𝔄 ∈ 𝒜, e’ giustificata dal teorema di Itô asserente che il grado dei caratteri irriducibili di un gruppo deve dividere l’indice di un qualsiasi sottogruppo subnormale abeliano. Concentriamo adesso la nostra attenzione sul secondo passo, ossia determinare le lunghezze delle orbite di 𝔄 considerato come un 𝔗–insieme. Come risultera’ chiaro al termine della prova, potremmo subito affrontare il problema nello spazio duale 𝔄̂, ma il nostro approccio riflette la filosofia generale di considerare preliminarmente l’azione diretta (essendo questa solitamente piu’ agevolmente descrivibile) e ricavarne informazioni su quella duale. Molto e’ noto (si vedano [1], [12] e [5]) quando l’azione e’ coprima, cioe’, quando T e’ un gruppo agente su un altro gruppo A, e (|A|, |T |) = 1. La giustificazione di questo modo di procedere risiede anche nell’intento di trovare una via per trasportare alcuni di questi risultati qualora l’azione risulti non essere piu’ coprima. Il controesempio costruito in seguito mostrera’ che A e Irr(A) non sono piu’ necessariamente isomorfi come T –insiemi quando il requisito di coprimalita’ viene a mancare (si veda anche [11], Vol. II, pag. 121). Sarebbe interessante capire se una condizione piu’ debole e’ ancora valida:

Questione: Sotto quali condizioni A e Irr(A), considerati come T – insiemi sono debolmente equivalenti?

Come vedremo, la prova nel caso lineare e’ di gran lunga piu’ complessa. Si ponga per brevita’ 𝒪(𝔄) = 𝒪.

Teorema 3.3.4 𝒪 ⊇ {q^{j} : 0 ≤ j ≤ f(n)} e q^{f(n)} = |𝔓 : 𝔄|.

Dim. La seconda parte dell’asserto e’ immediata. L’azione su 𝔄 viene descritta da Y^{−1}AX come si e’ visto sopra. Siccome l’inversione e’ un antisomorfismo di SL(k, 𝔽_{q})_{p}, possiamo sostituire Y^{−1} con Y. Scriviamo n = 2k o 2k + 1 se n e’ pari o dispari. Procediamo adesso per induzione su k, mostrando come l’ipotesi induttiva al k–simo livello implichi la validita’ dell’asserto per n = 2k + 1, 2k + 2 = 2(k + 1). Se k = 1, allora n = 1, 2 e 𝔓 e’ abeliano. Per induzione, esistono delle matrici B ∈ (𝔽_{q})_{2k} aventi orbite di lunghezza da 1 fino a q^{k(k−1)}. Raffiniamo l’ipotesi induttiva richiedendo l’esistenza di B_{0}, …, B_{k−1} ∈ (𝔽_{q})_{2k} tali che:

a. B_{i} e’ non singolare.

b. |B_{i}^{𝔓}| = q^{k(k−1)−i}.

Chiameremo tali matrici i supporti delle orbite lunghe.

Passo 1: Determiniamo anzitutto rappresentanti delle orbite corte. Si consideri la seguente partizione:

Y (B, b^{t}) ( \begin{matrix}T & 0 \\ t & 1 \end{matrix} ) = (Y BT + Y bt, Y b^{t})  (3.10)

e si ponga b = 0. Per induzione, ci sono matrici B ∈ (𝔽_{q})_{k}, con orbite di lunghezza variabile tra 1 e q^{k(k−1)}, allora (B 0) forniscono la stessa lunghezza.

Passo 2: Si consideri la seguente situazione:

Y (b^{t}, B) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ t^{t} & T \end{matrix} ) = (Y (b^{t} + Bt^{t}), Y BT),  (3.11)

dove Y, T ∈ (𝔽_{q})_{k} sono matrici unipotenti triangolari basse. L’idea e’ di ottenere elementi rappresentanti orbite lunghe saturando la prima colonna della matrice di cui sopra per qualsiasi scelta di Y. Poiche’ Y e’ invertibile, questa richiesta non dipende realmente da Y. Infatti

{Y (b^{t} + Bt^{t}) : t ∈ 𝔽_{q}^{k}} = {b^{t} + Bt^{t} : t ∈ 𝔽_{q}^{k}} = {Bt^{t} : t ∈ 𝔽_{q}^{k}} = 𝔽_{q}^{k}

se e solo se B reppresenta un operatore lineare suriettivo in End(𝔽_{q}^{k}), ossia, se e solo se B non e’ singolare. Ma, per induzione, esistono k elementi B_{i} che sono i supporti delle orbite lunghe al k–simo livello. Si ponga, ad esempio, b = 0, allora (0 B_{i}) avranno orbite di lunghezza q^{k^{2}−i}, i = 0, …, k − 1.

Si osservi che questi passi forniscono ogni lunghezza quando n = 2k + 1.

Passo 3: Per ottenere i rappresentanti delle orbite corte, si consideri:

( \begin{matrix}1 & 0 \\ T & t \end{matrix} ) ( b̃ ; B̃ ) X = ( \begin{matrix}b̃X \\ t^{t}b̃X + T B̃X \end{matrix} )  (3.12)

e si ponga b̃ = 0. Per il commento alla fine passo 2, otteniamo tutte le lunghezze da 1 fino a q^{k^{2}}.

Passo 4: Ora ripartiamo la matrice Y ∈ (𝔽_{q})_{k+1}, allora:

( \begin{matrix}T & 0 \\ t & 1 \end{matrix} ) ( B̃ ; b̃ ) X = ( \begin{matrix}T B̃X \\ (tB̃ + b̃)X \end{matrix} ) .  (3.13)

Nuovamente, la saturazione dell’ultima riga, per ogni X, e’ implicata non appena B̃ e’ di rango massimo, cioe’, rkB̃ = k. Questo accade sicuramente se poniamo B̃ = (0 B), ove B e’ il supporto di un orbita

lunga nel passo 1. Quindi gli elementi ( B̃_{i} ; b̃ ) sono rappresentanti di

orbite lunghe per ogni scelta di b̃. Se poniamo b̃ = e_{1}, allora questi sono anche non singolari, quindi supporti di orbite lunghe. Si osservi che ce ne sono k le cui orbite hanno lunghezza q^{k(k+1)−i}, i = 0, …, k − 1.

Passo 5: Sfortunatamente il passo 3 fornisce un elemento singolare la cui orbita ha lunghezza q^{k^{2}}. Al fine di ottenerne uno non singolare, si prenda il supporto di un’orbita lunga B_{0} e lo si immerga nella matrice non

singolare ( \begin{matrix}B_{0} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ). Allora:

( \begin{matrix}T & 0 \\ t & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}B_{0} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}S & 0 \\ s & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}T B_{0}S & 0 \\ tB_{0}S + s & 1 \end{matrix} ) .  (3.14)

Siccome s varia arbitrariamente in 𝔽_{q}^{k}, questa matrice ha un’orbita di lunghezza q^{k(k−1)+k}. □

Nota 3.1: La precedente dimostrazione fornisce pure un metodo per costruire elementi con orbite di lunghezza prescritta. Affrontiamo i calcoli nel caso k = 1. Si prenda la matrice (1). Orlandola come nei

passi 1 e 3, otteniamo ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) che e’ centrale. Orlandola come

nei passi 2 e 4, otteniamo ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) con orbita di lunghezza q^{2}.

Usando il passo 5, si ha ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) la cui orbita ha lunghezza q.

Nota 3.2: Viene provato ancora una volta che 𝔄 e’ un sottogruppo abeliano massimale. Infatti ci sono elementi con orbita avente la lunghezza massima possibile |A^{𝔗}| = |𝔗|, il che equivale a C_{𝔗}(A) = 1 e, per l’identita’ di Dedekind, si puo’ concludere che 𝔄 = C_{𝔓}(𝔄).

3.3.2 Il caso simplettico

Una volta che il tema e’ stato stabilito, basta effettuare le variazioni.

Teorema 3.3.5 𝔓 e’ un’estensione spezzante di un sottogruppo normale abeliano massimale 𝔄.

Dim. Si usi il lemma 2.2.1 ove 𝔄 = \{( \begin{matrix}I & 0 \\ A & I \end{matrix} ) : A^{t} = A\}. Come nel

caso lineare, per dimostrare la massimalita’ di 𝔄, e’ sufficiente mostrare che T = I, ogniqualvolta T ∈ C_{𝔗}(𝔄). Sia A = I, allora T^{t}T = I. Indi T = (T^{t})^{−1} = T^{∗}. Ma T e’ triangolare bassa unipotente, da cui T = I . □

Teorema 3.3.6 𝒪 ⊇ \{q^{j} : 0 ≤ j ≤ \binom{n}{2}\}.

Dim. Si osservi che q^{\binom{n}{2}} = |𝔓 : 𝔄|. Si proceda ora per induzione su n. Se n = 1 non c’ e’ niente da provare. Sia n > 1 e si ripartiscano A e T in 4 sottomatrici. Allora abbiamo:

\begin{aligned}& ( \begin{matrix}T^{t} & t^{t} \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}B & b^{t} \\ b & β \end{matrix} ) ( \begin{matrix}T & 0 \\ t & 1 \end{matrix} ) = \\ ( & \begin{matrix}T^{t}BT + t^{t}bT + T^{t}b^{t}t + t^{t}tβ & T^{t}b^{t} + βt^{t} \\ bT + βt & β \end{matrix} & ) \end{aligned}  (3.15)

Passo 1: Per induzione ci sono matrici B_{i} ∈ 𝔄_{n−1} : q^{i} = |B_{i}^{𝔗_{n−1}}| = |B_{i}^{𝔗_{n}}|, ove B_{i} puo’ essere pensato come immerso in 𝔄_{n} ponendo b = 0, β = 0.

Passo 2: Si ponga B = 0, b = 0, β = 1, allora ( \begin{matrix}t^{t}t & t^{t} \\ t & 1 \end{matrix} ) genera un’orbita

di lunghezza q^{n−1}.

Per il passo 1 e’ \{q^{j} : 0 ≤ j ≤ \binom{n−1}{2}\} ⊆ 𝒪.

Per il passo 2 e’ \{q^{j} : n − 1 ≤ j ≤ \binom{n}{2}\} ⊆ 𝒪, siccome ( \begin{matrix}T^{t}A_{i}T & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ),

( \begin{matrix}t^{t}t & t^{t} \\ t & 1 \end{matrix} ) variano independentemente l’una dall’altra. Grazie alla prima

osservazione, 𝒪 non puo’ contenere potenze di q piu’ grandi. □

Nota 3.3: Possiamo esibire esattamente un insieme di elementi per ciascuna delle lunghezze orbitali. Un’attenta analisi della dimostrazione mostra che sono richiesti solo elementi diagonali. Infatti b = 0 in entrambe i passi. Consideriamo ora

A(i, r) = ( \begin{matrix}I_{i} \\ & 0 \\ & & I_{r−i−1} \\ & & & 0 \\ & & & & . & . & . \\ & & & & & & & 0 \end{matrix} ) ,  (3.16)

cioe’,

A(i, r) = diag(\underbrace{1, …, 1}_{i}, 0, \overbrace{1, …, 1}^{r−i−1}, 0, …, 0).

Allora, una semplice argomentazione induttiva e la prova del precedente teorema mostrano che A(i, r) possiede un’orbita di lunghezza q^{\binom{r}{2}−i}. Siccome A(r − 1, r) = A(0, r − 1), si imponga, per unicita’, la restrizione 0 ≤ i ≤ r − 2, dove 1 ≤ r ≤ n.

3.4 Metodi di Lie

In questa sezione proveremo l’inclusione inversa, ossia, la cardinalita’ di ogni orbita e’ una q–potenza, a meno che 𝔓 non sia simplettico e p = 2. L’idea e’ di estendere alcuni dei metodi utilizzati da Chevalley per definire il corrispondente su un campo finito del gruppo degli automorfismi delle algebre di Lie semplici sul campo complesso. Nelle sue considerazioni un ruolo centrale viene assunto dalla mappa esponenziale definita su una ℂ–algebra nilpotente di operatori. L’ostruzione piu’ seria in questo approccio e’ che questa applicazione non puo’ essere definita per 𝔽_{q}–algebre quando l’indice di nilpotenza supera p, la caratteristica del campo finito. Proveremo che esiste una famiglia di mappe che realizzano biezioni tra particolari 𝔽_{q}-algebre nilpotenti e gruppi lineari. Determineremo un’applicazione relativamente semplice per 𝔓 = SL(n, q)_{p} che ci consentira’ di dimostrare che ogni classe di coniugio in 𝔓 ha per ordine una q–potenza.

Definizione 3.4.1 Si denoti con K[^{[}x^{]}] la K–algebra delle serie di potenze formali sul campo K.

Definizione 3.4.2 Si denoti con 𝒩_{n} la K–algebra nilpotente delle matrici strettamente triangolari basse di (K)_{n}.

Definizione 3.4.3 Sia 𝒩 un’algebra nilpotente e si denoti con ν(𝒩) l’indi-ce di nilpotenza di 𝒩, cioe’ il minimo intero tale che N^{ν} = 0, ∀N ∈ 𝒩.

In particulare si ha ν(𝒩_{n}) = n.

Lemma 3.4.4 Si supponga che M_{1}, M_{2} siano elementi di 𝒩_{k}, 𝒩_{r} rispettivamente. Sia f = ∑_{i} f_{i}x^{i} ∈ K[^{[}x^{]}] e A ∈ (K)_{k×r}. Sia Y = M_{1}A − AM_{2}, allora

f(M_{1})A = Af(M_{2}) + ∑_{i=1}^{∞} ∑_{j=0}^{i−1} f_{i}M_{1}^{j}Y M_{2}^{i−1−j}

Dim. Cominciamo a provare per induzione su i che

M_{1}^{i}A = AM_{2}^{i} + ∑_{j=0}^{i−1} M_{1}^{j}Y M_{2}^{i−1−j}.  (3.17)

Per i = 1 si ha ∑_{j=0}^{i−1} M_{1}^{j}Y M_{2}^{i−1−j} = Y, che coincide colla definizione di Y. Ora

M_{1}^{i+1}A = M_{1}(AM_{2}^{i} + ∑_{j=0}^{i−1} M_{1}^{j}Y M_{2}^{i−1−j})

= AM_{2}^{i+1} + Y M_{2}^{i} + ∑_{j=0}^{i−1} M_{1}^{j+1}Y M_{2}^{i−(j+1)}

= AM_{2}^{i+1} + ∑_{j=0}^{i} M_{1}^{j}Y M_{2}^{i−j},  (3.18)

completando il passo induttivo. Si moltiplichi ora per f_{i} e si sommi. Si osservi che il numero di addendi e’ realmente finito a causa della nilpotenza di M_{j}. □

Abbiamo ora bisogno di stabilire alcuni fatti relativi alle algebre nilpotenti commutative.

Lemma 3.4.5 Si supponga che x, y siano operatori nilpotenti e xy = yx. Sia ν(x) = i e ν(y) = j, allora (x + y)^{i+j−1} = 0, in particolare x + y e’ nilpotente.

Dim. Si usi il teorema binomiale e si osservi che x^{n}y^{m} = 0 ogniqualvolta n + m ≥ i + j − 1. □

Definizione 3.4.6 Sia Φ_{M_{1},M_{2}}(Y) = ∑_{i=1}^{∞} ∑_{j=0}^{i−1} f_{i}M_{1}^{j}Y M_{2}^{i−1−j}.

Lemma 3.4.7 Φ_{M_{1},M_{2}}(Y) e’ un operatore lineare ed e’ invertibile se e solo se f_{1} ≠ 0.

Dim. La linearita’ e’ ovvia. Si denoti ora con λ = λ_{M_{1}} l’operatore Y ⟶^{λ} M_{1}Y e con ρ = ρ_{M_{2}} l’operatore Y ⟶^{ρ} Y M_{2}. Chiaramente λ e ρ sono operatori nilpotenti permutabili tra loro. Ora

Φ_{M_{1},M_{2}} = ∑_{i≥0} f_{i+1} ∑_{j} λ^{j}ρ^{i−j} = f_{1}I + σ.  (3.19)

Applicando il precedente lemma ripetutamente, vediamo che σ e’ un operatore nilpotente. Quindi Φ_{M_{1},M_{2}} e’ invertibile se e solo se f_{1} ≠ 0. □

Si supponga ora che charK = 0 oppure n ≤ charK, allora exp(M) = ∑_{i=0}^{n−1} \frac{M^{i}}{i!} e’ ben definito per ogni M ∈ 𝒩_{n}. Sia Y = 0, allora vale il seguente risultato:

Corollario 3.4.8 Sia M_{1}A + AM_{2} = 0, allora exp(M_{1})A exp(M_{2}) = A.

Dim. Si osservi semplicemente che exp(−M_{2}) = exp(M_{2})^{−1} e si applichi il lemma 3.4.4. □

Evidenziamo ivi due fatti:

a. Abbiamo sfruttato la ben nota proprieta’ della mappa esponenziale classica exp(−x) = exp(x)^{−1} su ℂ. Questa proprieta’ si conserva anche se exp e’ definita come una serie di potenze formale ripetendo esattamente la prova nel caso complesso.

b. L’ultimo risultato fornisce una corrispondenza tra operatori nilpotenti ed elementi che centralizzano la matrice A.

Lo scopo e’ quello di costruire una biezione da 𝒩_{n} su 𝔗_{n}, dove 𝔗_{n} denota le matrici unipotenti triangolari basse in (K)_{n} mediante un’opportuna serie di potenze f condividente alcune delle proprieta’ dell’applicazione esponenziale. Per una notazione piu’ semplice non distingueremo tra la serie di potenze f e l’operatore che questa induce su 𝒩_{n}.

Teorema 3.4.9 Esiste f = 1+x+∑_{i≥2} f_{i}x^{i} ∈ 𝔽_{q}[^{[}x^{]}], p > 2, con le seguenti proprieta’:

a. f(−N) = f(N)^{−1} ∀N ∈ 𝒩_{n}.

b. f(M_{1})Af(−M_{2}) = A ⟺ M_{1}A = AM_{2}.

c. f induce una biezione da 𝒩_{n} su 𝔗_{n}.

Si osservi che non richiediamo dim M_{1} = dim M_{2}.

Dim. Si scriva f(x) := ∑_{i≥0} f_{i}x^{i}. Mostreremo che per p > 2 e’ possibile determinare i coefficienti f_{i} ∈ 𝔽_{q} in modo tale che le suddette condizioni siano soddisfatte.

Passo 1: Data N ∈ 𝒩, f(N) e’ triangolare bassa e l’unipotenza equivale a richiedere che f_{0} = 1.

Passo 2: Sia g(x) = f(x)f(−x) = ∑_{l≥0} c_{l}x^{l}. Ovviamente g(x) = g(−x), per cui c_{2l+1} = 0. Dobbiamo solo considerare le condizioni:

\{ \begin{matrix}c_{0} = 1 \\ c_{l} = 0 & 0 < l < n \end{matrix} .  (3.20)

Adesso c_{0} = f_{0}^{2} = 1. Si ipotizzi induttivamente che abbiamo gia’ determinato f_{i} per i < 2k. La condizione c_{2k} = 0 e’ soddisfatta non appena

2f_{2k} = 2f_{2k−1}f_{1} − 2f_{2k−2}f_{2} + ⋯ + 2(−1)^{k}f_{k+1}f_{k−1} + (−1)^{k+1}f_{k}^{2} (3.21)

che e’ risolubile in f_{2k} siccome p > 2. Si noti che nessuna condizione viene imposta sui coefficienti di indice dispari.

Passo 3: Per il lemma 3.4.4, con Y = 0, sappiamo gia’ che M_{1}A = AM_{2} ⇒ f(M_{1})A = Af(M_{2}) = Af(−M_{2})^{−1}. Viceversa, sia T una matrice unipotente. Come mostreremo nel prossimo passo, esiste N ∈ 𝒩 tale che T = f(N). Si definisca Y in modo che M_{1}A = AM_{2} + Y. Allora Φ_{M_{1},M_{2}}(Y) = 0. Per il lemma 3.4.7 f_{1} = 1 implica Y = 0.

Passo 4: Dobbiamo ora provare che f induce effettivamente una biezione da 𝒩_{n} su 𝔗_{n}. E’ chiaramente sufficiente determinare una serie di potenze h centrata nell’identita’ tale che h(f(N)) = N. In tal caso h sarebbe definita su tutto 𝔗_{n}, siccome T − I e’ nilpotente quando T ∈ 𝔗_{n}. Questo implica immediatamente che f induce una mappa iniettiva da 𝔗_{n} a 𝒩_{n}. Poiche’ |𝒩_{n}| = q^{\binom{n}{2}} = |𝔗_{n}|, ovviamente f induce anche un epimorfismo. Si scriva h(y) = ∑_{i≥0} h_{i}(y − 1)^{i}. Siccome f(0) = I, allora h_{0} = 0. Sostituendo formalmente y con ∑_{j≥0} f_{i}x^{i}, otteniamo

∑_{i≥1} h_{i}(∑_{j≥1} f_{j}x^{j})^{i} = x.  (3.22)

Raccogliendo x^{i} in ciascun addendo vediamo che questo sistema e’ equivalente ad un insieme di equazioni coinvolgenti solo un numero finito di coefficienti h_{i} ogni volta. Piu’ precisimente h_{1} = f_{1}^{−1} = 1. Ancora per induzione si supponga che abbiamo determinato ogni coefficiente h_{i} con i < k, allora h_{k} = s(h_{1}, …, h_{k−1}, f_{j}), ove 0 ≤ j < n, per qualche termine s dipendente dai coefficienti racchiusi dalle parentesi. □

Si noti che M_{1}A = AM_{2} e’ una condizione lineare nelle componenti di M_{i}, per cui il numero delle soluzioni di questa equazione su 𝔽_{q} e’ effettivamente una q–potenza e questo vale anche per la corrispondente immagine mediante l’applicazione f. Specializzando M_{1}, M_{2}, A, n, ci troviamo nella posizione di provare che le cardinalita’ delle orbite sono solamente q–potenze. Affrontiamo prima il caso lineare, ove un risultato leggermente piu’ generale e’ valido.

Teorema 3.4.10 Sia 𝔓 il p–sottogruppo di Sylow di GL(n, q), allora ∀g ∈ 𝔓, |g^{𝔓}| e’ una q–potenza.

Dim. Basta mostrare che |C_{𝔓}(g)| e’ una q–potenza. Si supponga che g = I + N, dove N e’ strettamente triangolare bassa, allora

(I + N)(I + M) = (I + M)(I + N) ⟺ I + M ∈ C_{𝔓}(g).  (3.23)

Ma questo equivale a NM = MN, che esprime una condizione lineare sui coefficienti di M. □

Si noti che non e’ necessaria alcuna restrizione su p per la validita’ del precedente risultato.

Teorema 3.4.11 Usando la stessa notazione della sezione 2, 𝒪 ⊆ {q^{j} | 0 ≤ j ≤ g(n)} a meno che 𝔓 non sia simplettico e p = 2.

Dim. Basta dichiarare quali matrici giocano il ruolo di M_{1}, M_{2}, A e osservare che f(N^{t}) = f(N)^{t}.

a. Nel caso simplettico siano M_{1} = N^{t}, M_{2} = −N, A simmetrica, dove tutte le matrici hanno dimensione n.

b. Nel caso lineare, si applichi il teorema 3.4.10. □

Nota 4.1: Per comprovare l’eleganza di questo procedimento, mostreremo nuovamente che le matrici descritte nel caso simplettico hanno orbite della cardinalita’ richiesta. Si consideri anzitutto A = A(1, r) = ( \begin{matrix}I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ). Allora N^{t}A + AN = 0 e’ equivalente a

( \begin{matrix}N^{t} & M^{t} \\ 0 & L^{t} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}N & 0 \\ M & L \end{matrix} ) = 0, (3.24)

cioe’ N = 0. Quindi questa equazione ha q^{r(n−r)+\binom{n−r}{2}} soluzioni. Ma questo e’ anche l’ordine del centralizzante di A. Ne segue che la lunghezza dell’orbita e’ q^{\binom{n}{2}−\binom{n−r}{2}−r(n−r)} = q^{\binom{r}{2}}. Sia ora A = A(l, r). Senza ledere la generalita’ possiamo pensare che r = n. Sia s = n − l − 1, allora

( \begin{matrix}N^{t} & a & M^{t} \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & L^{t} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}I_{l} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_{s} \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}I_{l} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_{s} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}N & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 \\ M & b^{t} & L \end{matrix} ) (3.25)

e’ la matrice nulla e cio’ implica che N, M, L, b devono annullarsi. Il solo termine che rimane e’ il vettore a che puo’ essere scelto in q^{l} modi, indi la corrispondente orbita dell’elemento A ha cardinalita’ q^{\binom{r}{2}−l}.

Una questione interessante e’ stabilire se ogni classe di coniugio in questi gruppi ha come ordine una q–potenza.

3.5 Un controesempio

Definizione 3.5.1 Sia G un gruppo e A, B G–insiemi, allora A, B sono G–equivalenti se esiste una biezione σ : A → B : (a^{σ})^{g} = (a^{g})^{σ}, ∀a ∈ A, g ∈ G.

Lemma 3.5.2 Siano A, B G–insiemi per qualche gruppo G. Sia A = ⋃_{1}^{r} 𝒪_{i}

and B = ⋃_{1}^{r̃} 𝒪̃_{i} la decomposizione disgiunta in G–orbite, 𝒪_{i} = a_{i}^{G}, 𝒪̃_{i} = b_{i}^{G}.

Allora A, B sono G–equivalenti se e solo se r = r̃ e ∃σ : a_{i}^{σ} = b_{i} i = 1, …, r con C_{G}(a_{i}) = C_{G}(b_{i}), per un’opportuna scelta dei rappresentanti dell’orbita.

Dim. Chiaramente la restrizione di una G–equivalenza ρ all’insieme dei rappresentanti delle orbite fornisce la corrispondenza σ. Viceversa, si supponga che una tale corrispondenza con relativi a_{i}, b_{i} sia data.Allora |𝒪_{i}| = |G : C_{G}(a_{i})| = |𝒪̃_{i}|. Si estenda σ ad una corrispondenza ρ a tutto A come segue:

Sia a ∈ A, allora a = a_{i}^{g}, con i univocamente determinato. Si ponga a^{ρ} := b_{i}^{g}. Sia a = a_{i}^{h}, allora gh^{−1} ∈ C_{G}(a_{i}) = C_{G}(b_{i}) e ρ e’ ben definita. Chiaramente ρ e’ una G–equivalenza per costruzione . □

Lemma 3.5.3 Siano A, B insiemi G–equivalenti e H ≤ G, allora |C_{A}(H)| = |C_{B}(H)|, ove C_{A}(H) = {a ∈ A : a^{H} = {a}} e’ l’insieme dei punti fissati da H.

Dim. Sia σ la G–equivalenza tra A e B, allora σ ristretto a C_{A}(H) e’ una biezione su C_{B}(H). □

Nota 5.1: Se cio accade per ogni sottogruppo H di G, allora A e B sono G– equivalenti, ossia la condizione diventa anche sufficiente (si veda [9]).

Si consideri ora V = V (n, 𝔽_{q}) come SL(n, 𝔽_{q})_{p}–modulo naturale. Mostreremo che V ≃_{G}V̂ se e solo se n ≤ 2.

Teorema 3.5.4 V 𝔓^{≃}V̂, ove V = V (2, 𝔽_{q})

Dim. Esibiremo persino una 𝔓–equivalenza σ che risulta essere lineare. Sia (v_{1}, v_{2})^{σ} := (−v_{2}, v_{1}), allora (v^{σ})ĝ = (v^{g})^{σ}, dove ^serve solo a ricor-

dare che la G–azione e’ sullo spazio duale. Infatti v^{g} = (v_{1}, v_{2}) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ a & 1 \end{matrix} )

e (v^{σ})ĝ = (−v_{2}, v_{1}) ( \begin{matrix}1 & −a \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = (v^{g})^{σ}. σ viene addirittura rappresentata

dalla matrice simplettica ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ). □

Sfortunatamente trattasi solo di un caso, come mostrato dal successivo teorema.

Teorema 3.5.5 (Controesempio) V 𝔓^{≄}V̂ per n ≥ 3.

Dim. Sia n = 3 e si consideri

ℌ =< ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) >=< g, h >  (3.26)

Allora Ann_{V} (1 − g) =Ann_{V} (1 − h) = {(x_{1}, x_{2}, 0)}, quindi Ann_{V} (1 − ℌ) = C_{V} (ℌ) ha codimensione 1 in V. D’ altra parte

AnnV̂ (1 − g^{∗}) ≠ AnnV̂ (1 − h^{∗}),  (3.27)

quindi AnnV̂ = {(0, 0, x_{3})} ha codimensione 2 in V̂. Si immerga ora ℌ in

SL(n, q)_{p} come segue: ℌ ≲ ℌ_{n} =< ( \begin{matrix}I & 0 \\ 0 & g \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}I & 0 \\ 0 & h \end{matrix} ) >, where I =

I_{n−3}. Risulta allora chiaro che cod_{V} (ℌ_{n}) = 1 <codCV̂ (ℌ_{n}) = 2. □

3.6 Gradi dei caratteri

Proviamo infine che la restrizione q = p forza cd𝔓 = 𝒪(𝔄). Forniremo una corrispondenza tra 𝔄 and 𝔄̂, considerati come insiemi di matrici, che induce una 𝔗–equivalenza debole.

Definizione 3.6.1 Si consideri A = ∑_{{1≤i≤k \atop 1≤j≤r}} a_{ij}E_{ij} ∈ (K)_{k×r} e si definisca

A^{s} := ∑_{{1≤i≤r \atop 1≤j≤k}} a_{k−j+1,r−i+1}E_{ij} ∈ (K)_{r×k}. Chiameremo s l’operatore rifles-

sione o speculare (Spiegelungoperator).

Si osservi che s corrisponde alla riflessione lungo la diagonale originante dall’angolo in basso a sinistra. Forniamo una descrizione piu’ maneggevole dell’operatore di riflessione.

Lemma 3.6.2 Sia J_{l} = ∑_{i=1}^{l} E_{i,l+1−i} e A ∈ (K)_{k×r}, allora A^{s} = J_{r}A^{t}J_{k}.

Dim. Si ponga A = ∑_{l,m} a_{lm}E_{lm}, allora

∑_{i=1}^{r} E_{i,r+1−i} ∑_{{1≤m≤r \atop 1≤l≤k}} a_{lm}E_{ml} ∑_{j=1}^{k} E_{k+1−j,j} = ∑_{{1≤i≤r \atop 1≤j≤k}} a_{k+1−j,r+1−i}E_{ij}, (3.28)

come affermato . □

Si osservi che J_{l} = J_{l}^{t} = J_{l}^{−1} = J_{l}^{s}.

Corollario 3.6.3 (AB)^{s} = B^{s}A^{s}.

Dim. Siano A ∈ (K)_{k×r}, B ∈ (K)_{r×m}. Allora (AB)^{s} = J_{m}(AB)^{t}J_{k} = J_{m}B^{t}J_{r}J_{r}A^{t}J_{k} = B^{s}A^{s}. □

Quindi, per k = r = m, s e’ un antiautomorfismo involutorio dell’anello (K)_{k}.

Corollario 3.6.4 Denotando con s e t la riflessione e la trasposizione si ha st = ts.

Dim. A^{st} = (J_{r}A^{t}J_{k})^{t} = J_{k}AJ_{r} = A^{ts}. □

Per r = k si ha st e’ un automorfismo dell’algebra centrale semplice (K)_{r} e, per un teorema di Noether–Skolem, deve essere interno, per la precisione quello indotto dalla coniugazione mediante J. Il secondo ingrediente della prova e’ un lemma che stabilisce come l’azione duale puo’ essere espressa in termini di matrici. Manteniamo la notazione del teorema 3.3.3. Ricordiamo che F denota 𝔽_{q^{m}} ove m vale 2 nel caso unitario, 1 altrimenti. Data una matrice A ∈ (F)_{r}, sia τ(A) = T r_{F:𝔽p}(T r(A)).

Lemma 3.6.5 Sia V = (F)_{k×r} e si definisca ^: V ⟶ Hom(V, 𝔽_{p}) mediante Â(B) = τ(A^{t}B). Allora ^e’ un 𝔽_{p}–isomorfismo.

Dim. La 𝔽_{p}–linearita’ e’ ovvia. Siccome la dimensione e’ finita, e’ sufficiente mostrare che ^e’ iniettiva. Infatti sia A = ∑_{m,l} a_{ml}E_{lm} e B = bE_{ij} allora

0 = τ(∑_{m,l} a_{ml}E_{ml}bE_{ij}) = T r_{F:𝔽p}(ba_{ji}).  (3.29)

Poiche’ T r(F) = 𝔽_{p}, l’arbitrareita’ di b forza a_{ji} = 0, j = 1, …, k, i = 1, …, r. □

Lemma 3.6.6 Sia V dotato della struttura di 𝔗–insieme via A^{T} = T_{2}AT_{1},

ove T = ( \begin{matrix}T_{1} & 0 \\ 0 & T_{2}^{−1} \end{matrix} ), T_{1} ∈ SL(r, F)_{p}, T_{2} ∈ SL(k, F)_{p}. Allora, la 𝔗–

azione indotta su Hom(V, 𝔽_{p}) viene descritta da Â^{T} = { \atop T_{2}^{∗}AT_{1}^{∗}}. In particulare C_{𝔗}(Â) = {T ∈ 𝔗 : A = T_{2}^{∗}AT_{1}^{∗}}.

Dim. Notiamo che per un G–modulo arbitrario M, l’azione indotta sullo spazio duale M̂ e’ data da μ^{g}(m) = μ(m^{g^{−1}}). Ora

(Â^{T})(B) = Â(B^{T^{−1}}) = τ(A^{t}T_{2}^{−1}BT_{1}^{−1})
= τ(T_{1}^{−1}A^{t}T_{2}^{−1}B) = τ((T_{2}^{∗}AT_{1}^{∗})^{t}B)  (3.30)
= { \atop T_{2}^{∗}AT_{1}^{∗}}(B).

Ne segue che Â^{T} = Â se e solo se Â = { \atop T_{2}^{∗}AT_{1}^{∗}}. La seconda parte del lemma e’ una semplice conseguenza dell’iniettivita’ di ^. □

Teorema 3.6.7 (equivalenza debole) 𝔄 e 𝔄̂ sono 𝔗–insiemi debolmente equivalenti .

Dim. B^{𝔗} = {T_{2}BT_{1}}, ove T_{i} varia nell’insieme delle matrici unitriangolari basse di opportuna dimensione. Ora la 𝔗–orbita di B̂^{st} ∈ V̂ e’

\{{ \atop T_{2}^{∗}B^{st}T_{1}^{∗}}\} = \{{ \atop (T_{2}^{−s}BT_{1}^{−s})^{st}}\}.

Siccome la mappa T ⟶ T^{−s} e’ un automorfismo del gruppo delle matrici unitriangolari basse e ^e’ biunivoca, questo insieme ha lo stesso ordine della 𝔗–orbita di B ∈ V. Quindi 𝒪(𝔄) ⊆ 𝒪(𝔄̂). L’inclusione inversa segue analogamente. □

Useremo ora le notazioni del teorema 3.3.5.

Lemma 3.6.8 Sia V, l’insieme delle matrici simmetriche in (𝔽_{q})_{n}, q dispari, dotato della struttura di 𝔗–insieme grazie a A^{S} = T^{t}AT, dove S =

( \begin{matrix}T & 0 \\ 0 & T^{∗} \end{matrix} ). Si definisca ^: V ⟶ Hom(V, 𝔽_{p}) via Â(B) = τ(AB), allora:

a. Per ogni λ ∈ Hom(V, 𝔽_{p}), e B ∈ V, ∃!A ∈ V tale che λ(B) = Â(B),

b. V̂ = Hom(V, 𝔽_{p}),

c. Â^{T} = { \atop T^{−1}AT^{∗}},

d. C_{𝔗}(Â) = {S ∈ 𝔗 : A = T^{−1}AT^{∗}}.

Dim. La parte relativa alla struttura di Hom(V, 𝔽_{p}) pensato come 𝔗– insieme e’ un caso particolare del lemma 3.6.6 quando k = r = n e T_{2} = T_{1}^{t}. Ci basta assicurare la regolarita’ della forma bilineare ( , ) : V × V ⟶ 𝔽_{p}, (A, B) = τ(AB). A tal fine basta mostrare che V̂ ⟶ Hom(V, 𝔽_{p}) e’ suriettiva. Grazie al lemma 3.6.5 qualsiasi μ ∈ Hom((𝔽_{q})_{n}, 𝔽_{p}) e’ della forma Ĉ, ove C ∈ (𝔽_{q})_{n}. Proviamo che λ = μ_{V}, la restrizione di μ alle matrici simmetriche, e’ della forma Â per qualche matrice simmetrica A. Sia B simmetrica, allora

(C, B) = τ(C^{t}B) = τ(B^{t}C)
= τ(CB^{t}) = τ(CB)  (3.31)
= (C^{t}, B).

Siccome q e’ dispari, (C, B) = (\frac{1}{2}(C^{t} + C), B) = (A, B), ove A = \frac{1}{2}(C^{t} + C) e’ la matrice simmetrica desiderata . □

Teorema 3.6.9 (equivalenza debole) 𝔄 e 𝔄̂ sono debolmente equivalenti come 𝔗–insiemi.

Dim. Mostreremo che l’operatore di riflessione induce un’equivalenza debole tra 𝔄 e il suo duale. Si osservi che il gruppo degli operatori e’ chiuso rispetto a s. La 𝔗–azione e’ data da T^{t}BT, dove B e’ simmetrica. Per il Corollario 3.6.3 si ha:

(T^{t}BT)^{s} = T^{s}B^{s}(T^{t})^{s}.  (3.32)

Si ponga S^{−1} = T^{s}, allora, per il Corollario 3.6.4, S^{∗} = (T^{t})^{s}. Quindi l’immagine riflessa e’ S^{−1}B^{s}S^{∗}. Tuttavia, grazie al lemma 3.6.8, questo termine descrive l’azione duale. Siccome s e’ una biezione su 𝔗, cio’ implica che

|B^{𝔗}| = |(B^{s})𝔗̂|,  (3.33)

ove ^suggerisce che 𝔗 sta agendo sullo spazio duale. Ne segue che 𝒪(𝔄) ⊆ 𝒪(𝔄̂). Per il lemma 3.6.8 otteniamo, in modo analogo, l’inclusione inversa . □

Previa la solita restrizione p ≠ 2 quando 𝔓 e’ simplettico, vale il seguente asserto:

Corollario 3.6.10 Sia λ ∈ Irr(𝔄), allora |I_{𝔓}(λ) : 𝔄| e’ una q–potenza.

Dim. L’asserto segue per equivalenza debole e il teorema 3.4.11. □

La necessita’ della condizione p ≠ 2 nel caso simplettico mi e’ stata fatta notare da Isaacs. Si puo’ provare che per il 𝔗–insieme V delle matrici simmetriche in (𝔽_{q})_{2}, q pari, 𝒪(V) = {1, q}, ma 𝒪(V̂) = cd𝔓 = {1, q/2, q}. Quindi 𝔄, 𝔄̂ non sono debolmente 𝔗–equivalenti e la congettura relativa ai gradi dei caratteri risulta essere falsa in caratteristica pari. Mostriamo ora che la restrizione q = p implica:

Teorema 3.6.11 (Gradi dei Caratteri) Si supponga che 𝔓 ∈ Syl_{p}(ℒ_{n}(𝔽_{p})), ove ℒ_{n}(𝔽_{p}) e’ uno dei precedenti gruppi di tipo Lie di grado n sul campo finito di p elementi. Si ponga

g(n) = \{ \begin{matrix}f(n) & ℒ_{n}(𝔽_{p}) linear \\ \binom{\frac{n}{2}}{2} & ℒ_{n}(𝔽_{p}) symplectic \end{matrix}  (3.34)

allora cd𝔓 = {p^{j} : 0 ≤ j ≤ g(n)}.

Dim. Tranne il caso simplettico in caratteristica pari, 𝒪(𝔄) = 𝒪(𝔄̂) grazie ai teoremi 3.6.7, 3.6.9. Per il lemma 3.2.2 𝒪(𝔄̂) ⊆ cd𝔓. Per il teorema di Itô, l’eguaglianza e’ stabilita. Nel caso rimasto, il lemma 3.6.8 assicura solamente che 𝒪(𝔄) ⊆ 𝒪(𝔄̂), ma la restrizione q = 2 forza nuovamente l’eguaglianza. □

48

Su una congettura relativa ai gradi dei caratteri di certi p–gruppi

4.1 Introduzione

E’ stato congetturato che i gradi dei caratteri irriducibili di 𝔓 ∈ Syl_{p}(A_{n}(q)), q una p-potenza, sono q–potenze. Questo e’ stato recentemente stabilito da Isaacs (vedi [14]). Noi estendiamo tale risultato ai p–sottogruppi di Sylow di C_{n}(q), D_{n}(q) e^{2}A_{2n−1}(q^{2}), p un primo dispari. Tale congettura venne provata da Kazhdan [15] sotto la restrizione n < p che gli consenti’ di definire la mappa esponenziale sull’algebra di Lie ℒ(𝔓) associata a 𝔓. D’ altra parte, Isaacs ha mostrato che i gradi dei caratteri di 𝔊 sono q–potenze, quando 𝔊 e’ un gruppo radicale, ossia, 𝔊 = I + J(𝒜), dove 𝒜 e’ un’algebra associativa finito–dimensionale su 𝔽_{q} e J(𝒜) il suo radicale di Jacobson. Purtroppo, non e’ chiaro se questo e’ vero per i gruppi da noi studiati. Per risolvere il problema, combineremo entrambe le idee e introdurremo il concetto di algebra centralizzante e definiremo su di essa una mappa che possidede alcune proprieta’ di quella esponenziale, col vantaggio di essere definita per p dispari e n qualunque. Per applicare questi risultati, sfrutteremo alcune informazioni sulla struttura del gruppo 𝔓 che sono stati dimostrati nel capitolo 2 ed estenderemo alcuni lemmi dimostrati nell’ ultimo capitolo al caso ortogonale e unitario.

4.2 Risultati preliminari

Determiniamo la struttura del sottogruppo di inerzia I_{𝔓}(λ), dove λ ∈ Irr(𝔄), dove 𝔄 e’ il sottogruppo normale abeliano descritto nel lemma 2.2.1. Sia β l’automorfismo identico di 𝔽_{q} per 𝔊 = C_{n}(q), D_{n}(q) o il coniugio x ⟶ x^{q} per 𝔊 =^{2} A_{2n−1}(q^{2}). Abbiamo bisogno di dimostrare l’analogo del lemma 3.6.8 per i casi ortogonale e unitario.

Lemma 4.2.1 Sia V, l’insieme delle matrici simmetriche, antisimmetriche e antihermitiane in (F)_{n}, q dispari, dotato della struttura di 𝔗–insieme

grazie a A^{G} = (T^{t})^{β}AT, dove G = ( \begin{matrix}T & 0 \\ 0 & S \end{matrix} ) come nel lemma 2.2.1. Si

definisca ^: V ⟶ Hom(V, 𝔽_{p}) mediante Â(B) = τ(AB), allora:

1. Per ogni λ ∈ Hom(V, 𝔽_{p}), e B ∈ V, ∃!A ∈ V tale che λ(B) = Â(B),

2. V̂ = Hom(V, 𝔽_{p}),

3. Â^{T} = { \atop T^{−1}AS},

4. C_{𝔗}(Â) = {S ∈ 𝔗 : A = T^{−1}AS}.

Dim. Si proceda come nel lemma 3.6.8 osservando nel caso unitario che 𝔽_{p} e’ fissato dal coniugio. □

Lemma 4.2.2 I_{𝔓}(Â)/𝔄 ≃ {T ∈ S_{p}(A_{n−1}(F)) : T^{β}AT^{t} = A}.

Dim. L’azione di 𝔗 su 𝔄 mediante coniugazione e’ data da:

A^{G} = T^{t}AT^{β},

dove G = ( \begin{matrix}T^{β} & 0 \\ 0 & S^{β} \end{matrix} ) secondo le notazioni del lemma 2.2.1. Per il lemma

3.6.6, si ha Â = Â^{G} = { \atop T^{−β}AT^{∗}} se e solo se A = T^{β}AT^{t}. □

Grazie a tecniche classiche della teoria di Clifford, poiche’

1 ⟶ 𝔄 ⟶ I_{𝔓}(λ) ⟶ I_{𝔓}(λ)/𝔄 ⟶ 1

e’ una sequenza spezzante, ∀λ ∈ Irr(𝔄), λ e’ estendibile ad un carattere λ_{0} ∈ I_{𝔓}(λ) e

Irr(I_{𝔓}(λ)|λ) = {λ_{0}μ : μ ∈ IrrI_{𝔓}((λ)/𝔄)}.

Quindi, per provare che cd𝔓, l’insieme dei gradi di 𝔓, e’ costituito da q– potenze, basta mostrare che questo e’ vero per I_{𝔓}(λ)/𝔄 e che |𝔓 : I_{𝔓}(λ)| e’ una q–potenza ∀λ ∈ Irr(𝔄). A tal uopo definiamo un’applicazione f da 𝒩_{n}, l’algebra nilpotente delle matrici triangolari basse di ordine n su F in 𝔗_{n} = S_{p}(A_{n−1}(F)). Abbiamo bisogno di particolarizzare il teorema 3.4.9.

Lemma 4.2.3 Sia C_{n} = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}, allora C_{n} ∈ ℕ (C_{n} e’ anche noto come l’n–simo numero di Catalan).

Dim. I C_{n} soddisfano la ricorrenza quadratica C_{n} = ∑_{k=1}^{n} C_{k−1}C_{n−k} e C_{0} = 1 (si veda [17], pg. 41), quindi C_{n} ∈ ℕ. □

Teorema 4.2.4 Esiste f ∈ F [^{[}x^{]}] soddisfacente le seguenti condizioni:

1. f(−x) = f(x)^{−1},

2. f induce una biezione da 𝒩_{n} su 𝔗_{n},

3. ∀A ∈ (𝔽_{q})_{n}, f(X)^{β}Af(X)^{t} = A ⟺ X^{β}A + AX^{t} = 0.

Dim. Sia f(x) = \sqrt{1 + x^{2}} + x, dove la determinazione del segno e’ tale che f(0) = 1. Formalmente

f(x) = ∑_{k=0}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{k}x^{2k} + x.

Ora

\binom{\frac{1}{2}}{k} = \frac{(−1)^{k−1}}{2^{2k−1}} \frac{1}{k} \binom{2k − 2}{k − 1} = \frac{(−1)^{k−1}}{2^{2k−1}} C_{k−1},

dove C_{−1} = 2. Per il lemma 4.2.3

f(x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{2^{2k−1}} C_{k−1}x^{2k} + x

e’ ben definita per p dispari. Per ogni X ∈ 𝒩_{n}, f(X) esiste e appartiene a C(X), il centralizzante di X e

f(X)f(−X) = (\sqrt{I + X^{2}} + X)(\sqrt{I + X^{2}} − X) = I.

Sia f(X) = T, allora I + X^{2} = T^{2} − 2T X + X^{2} e X = \frac{T −T^{−1}}{2} , per cui f e’ iniettiva. Siccome 𝒩_{n} e’ finita, f induce una biezione. Si supponga che T^{β}AT^{t} = A e sia X il solo elemento in 𝒩_{n} : f(X) = T, allora X = \frac{T −T^{−1}}{2} e

X^{β}A + AX^{t} = \frac{1}{2}(T^{β}A − AT^{t} − AT^{∗} + T^{−β}A) = 0.

Viceversa, se X^{β}A = −AX^{t}, allora, per ogni serie di potenze g, si ha

g(X)^{β}A = Ag(−X)^{t}.

In particulare, per g = f, otteniamo f(X)^{β}Af(X)^{t} = A. □

Corollario 4.2.5 |𝔓 : I_{𝔓}(λ)| e’ una q–potenza per ogni λ ∈ 𝔄̂.

Dim. Infatti |I_{𝔓}(λ)| = |I_{𝔓}(λ)/𝔄||𝔄|. Ma

|I_{𝔓}(λ)/𝔄| = |{X : X^{β}A + AX^{t} = 0}|

e’ una q–potenza, essendo la cardinalita’ di un 𝔽_{q}–spazio vettoriale . □

Si osservi che nel caso unitario {X : X^{β}A + AX^{t} = 0}, X ∈ (F)_{n}, non e’ un F –spazio e non ci si puo’ quindi aspettare che 𝔓 abbia come gradi solo q^{2}–potenze, pur essendo 𝔓 un gruppo algebrico definito su 𝔽_{q^{2}}.

4.3 Gruppi con gradi q–potenze

Per imitare la prova del risultati di Isaacs, bisogna comprendere sotto quali condizioni un sottoinsieme 𝒥 di 𝒩_{n} viene mappato da f in un sottogruppo di 𝔗_{n}. Osserviamo che se X_{i}^{β}A = −AX_{i}^{t}, i = 1, …, r, allora (X_{1} ⋯ X_{r})^{β}A = (−1)^{r}A(X_{r} ⋯ X_{1})^{t}. Quindi

u(X_{1}, …, X_{r})^{β}A = −Au(X_{1}, …, X_{r})^{t},

per

u(X_{1}, …, X_{r}) = X_{1} ⋯ X_{r} + (−1)^{r+1}X_{r} ⋯ X_{1}.

Cio’ suggerisce la seguente definizione:

Definizione 4.3.1 Sia 𝒥 un sottospazio di un’algebra associativa 𝒜 e per ogni x_{1}, …, x_{r} ∈ 𝒥, u(x_{1}, …, x_{r}) ∈ 𝒥. Allora diciamo che 𝒥 e’ un’algebra centralizzante o, brevemente, c–algebra.

Si noti che per r = 2, questo implica che 𝒥 e’ un’algebra di Lie.

Lemma 4.3.2 Sia 𝒥 una c–algebra contenuta in 𝒩_{n}, allora f(𝒥) ≤ 𝔗_{n}.

Dim. Siccome 𝔗_{n} e’ finito, basta dimostrare che f(𝒥) e’ moltiplicativamente chiusa. Siano X, Y ∈ 𝒥 e si ponga f(X) = T, f(Y) = S. Allora f(Z) = T S se e solo se

Z = \frac{1}{2}(T S − (T S)^{−1}) = \frac{1}{2}(f(X)f(Y) − f(−Y)f(−X))
= ∑_{i,j} a_{ij}(X^{i}Y^{j} + (−1)^{i+j+1}Y^{j}X^{i})  (4.1)
= X + Y + ∑_{i+j≥2} a_{ij}(X^{i}Y^{j} + (−1)^{i+j+1}Y^{j}X^{i})

per opportuni a_{ij} ∈ F. Ora ogni termine tra parentesi e’ un elemento di 𝒥, quindi Z ∈ 𝒥. □

Definizione 4.3.3 Dato un sottoinsieme S di 𝒥, definiamo la c–chiusura di S in modo ovvio come \overline{S} = ∩\{ℒ : S ⊆ ℒ\}, dove ℒ sono c–algebre.

Sia 𝒥_{1} = 𝒥 e

𝒥_{s} = \overline{\{u(x_{1}, …, x_{r}) : r ≥ s x_{i} ∈ 𝒥\}}.

Chiaramente

𝒥_{i} ≥ 𝒥_{i+1}.

Si definisca il peso di un elemento mediante

w(x) = min{w : x ∈ 𝒥_{w} ∖ 𝒥_{w+1}}.

Ne segue che

w(u(x_{1}, x_{2})) ≥ w(x_{1}) + w(x_{2}).  (4.2)

Abbiamo ora bisogno di citare il lemma chiave dovuto a Isaacs (si veda [14]):

Lemma 4.3.4 Si supponga che 𝔊/𝔐 sia abeliano di ordine q^{2} e 𝔊 = ∪_{i=1}^{q+1}ℌ_{i}, dove 𝔐 < ℌ_{i} < 𝔊 hanno indice q e ℌ_{i} ∩ ℌ_{j} = 𝔐 per i ≠ j. Se i gradi dei caratteri di 𝔐, ℌ_{i} sono q–potenze, allora anche quelli di 𝔊 lo sono.

Teorema 4.3.5 Sia 𝒥 una c–algebra di dimensione finita su K = 𝔽_{q}, q dispari. Si supponga che 𝒥 ⊆ 𝒩 sia un’algebra associativa nilpotente e si ponga 𝔊 = f(𝒥). Allora i gradi dei caratteri di 𝔊 sono q–potenze.

Dim. Per induzione su dim_{K} 𝒥. Sia 𝒥 ⊆ 𝒩^{ν}, con ν massimale. Allora 𝒥_{2} ⊆ 𝒩^{2ν} ⊆ 𝒩^{ν+1}, per cui 𝒥 > 𝒥_{2}.

Caso 1: Se dim_{K} 𝒥/𝒥_{2} = 1, allora 𝒥 = 𝒥_{2} + Ka. Siccome u(x_{1}, …, x_{r}) e’ multilineare nei suoi argomenti, ogni elemento in 𝒥_{2} e’ somma di elementi della forma u(x_{1}, …, x_{r}), dove w(x_{i}) ≥ 2 o x_{i} ∈ Ka. A causa dell’equazione 4.2 e u(a, a) = 0, otteniamo che 𝒥_{2} = 𝒥_{3}. Analogamente si puo’ provare che 𝒥_{2i+1} = 𝒥_{2i+2} + Ka^{2i+1} e 𝒥_{2i} = 𝒥_{2i+1}. Iterando questo procedimento e osservando che 𝒥_{s} = 0 per s sufficientemente grande, si ha 𝒥 = Ka + Ka^{3} + … + Ka^{r}, per qualche r. Quindi 𝒥 e’ abeliana. Siccome f e’ definito come una serie di potenze, f preserva la commutativita’, quindi anche 𝔊 e’ abeliano.

Caso 2: dim_{K} 𝒥/𝒥_{2} ≥ 2. Sia 𝒥_{2} ≤ 𝒰 ≤ 𝒥, allora 𝒰 e’ una c–algebra. Mostriamo che f(𝒰) ⊴ f(𝒥). Sia x ∈ 𝒰 e y ∈ 𝒥. Grazie all’ultima riga dell’equazione 4.1

f(x)f(y) = f(x + y + j)

con j ∈ 𝒥_{2}. Sia f(z) = f(−y)f(x)f(y), allora

f(z) = f(−y)f(x + y + j) = f(−y + x + y + j′) = f(x + j′),

dove j′ ∈ 𝒥_{2}. Poiche’ f e’ iniettiva, si ha z = x + j′ ∈ 𝒰. Questo dimostra anche che f(𝒥)/f(𝒰) e’ abeliano. Si scelga ora 𝒰 in modo tale che dim_{K} 𝒥/𝒰 = 2. Siano 𝒰 ≤ 𝒱_{i} ≤ 𝒥, i = 1, …, q + 1 i K–sottospazi tra 𝒰 e 𝒥. Siccome f e’ una biezione, vediamo che ℌ_{i} = f(𝒱_{i}), 𝔐 = f(𝒰) e 𝔊 = f(𝒥) soddisfano le condizioni del lemma 4.3.4. □

Corollario 4.3.6 Se 𝔓 ∈ Syl_{p}(𝔏), 𝔏 = C_{n}(q), D_{n}(q), o ^{2}A_{2n−1}(q^{2}), q dispari, allora i gradi dei caratteri di 𝔓 sono q–potenze.

Dim. Come gia’ osservato, basta provare che i gradi dei caratteri di I_{𝔓}(λ)/𝔄 sono q–potenze per ogni λ ∈ Irr(𝔄). Ma questi gruppi sono della forma f(𝒥) per qualche c–algebra 𝒥. □

Corollario 4.3.7 Sia 𝔓 un p–sottogruppo di Sylow del gruppo simplettico C_{n}(q), q dispari, allora cd𝔓 = \{q^{j} : 0 ≤ j ≤ \binom{n}{2}\}.

l’esponente dei p–sottogruppi dei gruppi di tipo Lie: il caso isotropo

5.1 Introduzione

Richiamando i risultati del capitolo 2, forniamo una descrizione matriciale opportuna per 𝔓 ∈ Syl_{p}(𝔊), dove 𝔊 e’ un gruppo di tipo Lie agente su uno spazio vettoriale che e’ somma ortogonale di piani iperbolici (caso isotropo), ossia 𝔊 = C_{n}(q), D_{n}(q) o^{2}A_{2n−1}(q^{2}). Grazie al metodo delle funzioni generatrici, potremo provare un’identita’ combinatoria che ci consentira’ di derivare l’esponente di 𝔓.

5.2 Determinazione dell’esponente

Sia 𝔗 il gruppo delle matrici unipotenti triangolari basse di ordine n su F.

Lemma 5.2.1 Sia 𝔓 ∈ Syl_{p}(𝔊), ove 𝔊 = C_{n}(q), D_{n}(q) or ^{2}A_{2n−1}(q^{2}), al-

lora 𝔓 = 𝔄 ⋊ 𝔗̃, dove 𝔄 = \{( \begin{matrix}I & 0 \\ A & I \end{matrix} )\}, A^{t} = A, −A, −\overline{A} e

𝔗̃ = \{( \begin{matrix}T & 0 \\ 0 & S^{−1} \end{matrix} ) : T ∈ 𝔗, S = T^{α}\}.

Dim. Si veda il lemma 2.2.1. □

Lemma 5.2.2 ( \begin{matrix}T & 0 \\ AT & S^{−1} \end{matrix} )^{i} = ( \begin{matrix}T^{i} & 0 \\ S^{−i}f_{T}^{(i)}(A) & S^{−i} \end{matrix} ), dove

f_{T}^{(i)}(A) = ∑_{j=1}^{i} S^{j}AT^{j}.

Dim. Moltiplicando g^{i}g, si ha f_{T}^{(i+1)}(A) = Sf_{T}^{(i)}(A)T + SAT e f_{T}^{(1)}(A) = SAT. L’asserto segue per induzione su i. □

Lemma 5.2.3 Exp𝔗 = p^{r}, dove r = ⌈log_{p} n⌉.

Dim. Siccome l’ordine non dipende dalla classe di coniugio della matrice T, possiamo considerare la sua forma normale di Jordan J. Come si vede facilmente, l’ordine piu’ elevato compare quando J e’ un singolo blocco di Jordan. Sia J = I + N, dove N e’ nilpotente di grado n, allora (I + N)^{p^{r}} =

∑_{i=0}^{p^{r}} \binom{p^{r}}{i}N^{i} = I + N^{p^{r}} = I ⟺ n ≤ p^{r} . □

Per computare l’esponente di 𝔓 abbiamo solo bisogno di considerare il minimo valore i per cui f_{T}^{(i)}(A) = 0 dove A, T variano come nel lemma 5.2.1.

Siccome f_{T}^{(p^{r+1})}(A) = ∑_{j=0}^{p^{r+1}} S^{j}AT^{j} = ∑_{k=0}^{p−1} ∑_{i=0}^{p^{r}−1} S^{i}AT^{i} = pf_{T}^{(p^{r})}(A) = 0,

solo due possibilita’ vengono lasciate:

• Exp𝔓 = p^{r},

• Exp𝔓 = p^{r+1}.

Si osservi che f_{T}^{(i)}(A) e’ lineare in A, quindi e’ sufficiente considerare la sua azione sugli elementi E_{hk} di una base per (F)_{n} e specializzarla a W, l’F –sottospazio delle matrici simmetriche, antisimmetriche ed antihermitiane rispettivamente. Persino questa semplificazione sembra lasciare poche speranze, se permettiamo che T rimanga un’arbritaria matrice triangolare bassa. Per cui mostreremo che ci si puo’ sempre ridurre al caso in cui T e’ in forma normale di Jordan J, inizialmente come un singolo blocco e successivamente provando che questa condizione non lede la generalita’.

Lemma 5.2.4 Per ogni A ∈ W, f_{T}^{(i)}(A) = 0, ∀T ∈ 𝔗 se e solo se, per ogni J, f_{J}^{(i)}(A) = 0, dove J e’ un blocco di Jordan unipotente di grado n.

Dim. Una direzione e’ ovvia. Viceversa, proveremo anzitutto che ci possiamo ricondurre al caso in cui le matrici sono in forma normale di Jordan. Poiche’ T − I e’ nilpotente, esiste M ∈ GL(n, F) tale che T = M^{−1}JM = J^{M}, dove J e’ in forma normale di Jordan. Quindi

f_{T}^{(i)}(A) = M^{−α}f_{J}^{(i)}(M^{α}AM^{)}M^{−1} = 0.

Ma, chiaramente, A ⟶ M^{α}AM e’ una biezione di W. Ora mostriamo che per T essere simile ad un singolo blocco di Jordan non e’ realmente restrittivo. Un facile argomento induttivo su n mostra che e’ sufficiente considerare il caso di due blocchi propri. Si pensi quindi che T sia uguale a

( \begin{matrix}J_{1} & 0 \\ 0 & J_{2} \end{matrix} ). Siccome

( \begin{matrix}J_{1}^{k} & 0 \\ 0 & J_{2}^{k} \end{matrix} )^{t} ( \begin{matrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}J_{1}^{k} & 0 \\ 0 & J_{2}^{k} \end{matrix} ) =

( \begin{matrix}(J_{1}^{t})^{k}A_{11}J_{1}^{k} & (J_{1}^{t})^{k}A_{12}J_{2}^{k} \\ (J_{2}^{t})^{k}A_{21}J_{1}^{k} & (J_{2}^{t})^{k}A_{22}J_{2}^{k} \end{matrix} ) ,

allora f_{T}^{(p^{r})}(A) e’ una matrice ripartita in quattro sottomatrici con blocchi diagonali f_{J_{i}}^{(p^{r})}(A) e non diagonali ∑_{k}(J_{i}^{t})^{k}A_{ij}J_{j}^{k}. Sia, ad esempio, dim J_{1} ≤ dim J_{2}, allora si consideri Ã_{12}, la matrice quadrata ottenuta da A_{12} inserendo un opportuno numero di righe nulle e sostituendo J_{1} con J_{2}

J_{2}^{t} ( \begin{matrix}A_{12} \\ 0 \end{matrix} ) J_{2}

Il corrispondente valore del polinomio f differisce dal precedente solo per queste ultime righe. Induzione sulla dimensione e la prima parte della prova ci danno f_{J}^{(i)}(A) = 0. □

Descriviamo l’azione della mappa f_{J} relativa ad un blocco di Jordan.

Lemma 5.2.5 f_{J}^{(i)}(E_{kh}) = ∑_{s=1}^{i} ∑_{l,j=0}^{s} \binom{s}{l}\binom{s}{j}E_{k−l,h−j}.

Dim. Si consideri l’identita’ (I +N)^{s} = ∑_{i=0}^{s} \binom{s}{i}N^{i} e si osservi che E_{kh}N^{s} =

E_{k,h−s} e (N^{t})^{s}E_{kh} = E_{k−s,h}. Cosi’, per il singolo addendo in f_{J}^{(i)}(E_{kh}), si ha

(I + N^{t})^{s}E_{kh}(I + N)^{s} = ∑_{l=0}^{s} \binom{s}{l}E_{k−l,h} ∑_{j=0}^{s} \binom{s}{j}N^{j}

= ∑_{l,j=0}^{s} \binom{s}{j}\binom{s}{l}E_{k−l,h−j},

quindi, sommando,

f_{J}^{(i)}(E_{kh}) = ∑_{s=1}^{i} ∑_{l,j=0}^{s} \binom{s}{j}\binom{s}{l}E_{k−l,h−j},  (5.1)

come asserito. □

Per cui dobbiamo controllare il comportamento dei coefficienti c_{i}(l, j) =

∑_{s=1}^{i} \binom{s}{j}\binom{s}{l}, particolarmente per i = p^{r}. Si osservi che l, j puo’ essere scelto

tra 0 e n − 1, siccome, altrimenti, il termine corrispondente E_{k−l,h−j}, per 1 ≤ h, k ≤ n, e’ nullo. Per determinare c_{i}(l, j) abbiamo bisogno del seguente ben noto lemma:

Lemma 5.2.6 (Formula di sommazione di Abel)

∑_{s=1}^{i} a_{s}b_{s} = a_{i}B_{i} − ∑_{s=1}^{i−1}(a_{s+1} − a_{s})B_{s}, dove B_{s} = ∑_{j=1}^{s} b_{j}.

Dim. Sia B_{0} = 0, allora

∑_{s=1}^{i} a_{s}b_{s} = ∑_{s=1}^{i} a_{s}(B_{s} − B_{s−1}) = a_{i}B_{i} − ∑_{s=1}^{i−1}(a_{s+1} − a_{s})B_{s},  (5.2)

come asserito. □

Deriveremo un’altra espressione per c_{i}(l, j) che e’ piu’ adatta a controllare le loro classi di congruenza modulo p.

Lemma 5.2.7 Per i, j, l ∈ ℕ, c_{i}(l, j) = ∑_{k=0}^{l}(−1)^{k}\binom{i−k}{l−k}\binom{i+1}{j+1+k} − \binom{1}{l+1}\binom{1}{j+1}.

Dim. Si proceda per induzione su l.

Passo 1: Sia l = 0. Allora c_{i}(0, j) = ∑_{s=1}^{i} \binom{s}{j}. Adesso

\binom{s}{j} = \binom{s + 1}{j + 1} − \binom{s}{j + 1},

per cui

c_{i}(0, j) = \binom{i + 1}{j + 1} − \binom{1}{j + 1}.

Passo 2: Supponiamo l’asserto vero per l e poniamo a_{s} = \binom{s}{l+1}, b_{s} = \binom{s}{j} nel lemma di Abel. Allora Δa_{s+1} = a_{s+1} − a_{s} = \binom{s}{l} e, per il passo 1, B_{s} = \binom{s+1}{j+1} − \binom{1}{j+1}. Sia, per snellire la notazione, x = \binom{i}{l+1}\binom{i+1}{j+1}, allora

c_{i}(l + 1, j) = x − ∑_{s=1}^{i} \binom{s}{l}\binom{s + 1}{j + 1} − \binom{1}{l + 1}\binom{1}{j + 1}
= x − ∑_{s=1}^{i} \binom{s}{l}\binom{s}{j + 1} − ∑_{s=1}^{i} \binom{s}{l}\binom{s}{j} − \binom{1}{l + 1}\binom{1}{j + 1}
= x − c_{i}(l, j + 1) − c_{i}(l, j) − \binom{1}{l+1}\binom{1}{j+1}
= x + ∑_{k=0}^{l}(−1)^{k+1}\binom{i−1−k}{l−k} [\binom{i}{j+k+2} + \binom{i}{j+k+1}]
= x + ∑_{k=0}^{l}(−1)^{k+1}\binom{i−(k+1)}{(l+1)−(k+1)}\binom{i+1}{j+k+2}
= ∑_{k=0}^{l+1}(−1)^{k}\binom{i−k}{l+1−k}\binom{i+1}{j+1+k},

completando il passo induttivo. □

Consideriamo il caso particolare in cui

c_{p^{r}}(l, j) = ∑_{k=0}^{l}(−1)^{k}\binom{p^{r} − k}{l − k}\binom{p^{r} + 1}{j + k + 1} − \binom{1}{l + 1}\binom{1}{j + 1}  (5.3)

Lemma 5.2.8 \binom{p^{r}+1}{s} ≢ 0 (mod p) solo se s = 0, 1, p^{r}, p^{r} + 1.

Dim. Basta considerare la corrispondente funzione generatrice (si confronti [17], pg. 30). Siccome \binom{p^{r}}{k} ≡ 0 (mod p) per k ≠ p^{r}, 0,

(x + 1)^{p^{r}+1} = (x + 1)^{p^{r}}(x + 1)
≡ (x^{p^{r}} + 1)(x + 1) = x^{p^{r}+1} + x^{p^{r}} + x + 1 (mod p)

e l’asserto segue paragonando i coefficienti delle potenze della x. □

Sotto le solite restrizioni 1 ≤ j, l ≤ n < p^{r}, determiniamo la classe di congruenza di c_{p^{r}}(l, j) modulo p.

Lemma 5.2.9 Per 1 ≤ j, l ≤ p^{r} − 1, c_{p^{r}}(l, j) ≡ 0 (mod p), a meno che l + j + 1 ≥ p^{r}.

Dim. Per il lemma 5.2.8 \binom{p^{r}+1}{j+k+1} ≢ 0 (mod p) solo se

j + k + 1 = 0, 1, p^{r}, p^{r} + 1.

Siccome 0 ≤ k ≤ l < p^{r}, k = p^{r} − j, p^{r} − j − 1 sono le uniche scelte possibili per l’indice di sommazione k nell’equazione 5.3. Quindi

c_{p^{r}}(l, j) ≡ (−1)^{p^{r}−j−1} [\binom{j + 1}{l + j − p^{r} + 1} − \binom{j}{l + j − p^{r}}]
= (−1)^{p^{r}−j−1}\binom{j}{l + j + 1 − p^{r}}.  (5.4)

L’ultimo termine e’ chiaramente nullo a meno che l + j + 1 ≥ p^{r}. □

Teorema 5.2.10 Sia 𝔓 ∈ Syl_{p}(𝔊), 𝔊 di tipo simplettico o unitario, allora

Exp𝔓 = \{ \begin{matrix}p^{r} & p^{r−1} < n < \frac{p^{r}+1}{2} \\ p^{r+1} & \frac{p^{r}+1}{2} ≤ n ≤ p^{r} \end{matrix} .

Dim. Il caso p^{r−1} < n < \frac{p^{r}+1}{2} si stabilisce usando i lemmi 5.2.5 e 5.2.9. Sia n ≥ \frac{p^{r}+1}{2}. Si ponga l = j = \frac{p^{r}−1}{2} ≤ n − 1. Abbiamo

f_{J}^{(p^{r})}(E_{nn}) = c_{p^{r}}(\frac{p^{r}−1}{2}, \frac{p^{r}−1}{2})E_{n−l,n−l} + … ≠ 0.

Cosi’, per n ≥ \frac{p^{r}+1}{2}, vale Exp𝔓 = p^{r+1}. □

Il caso ortogonale richiede piu’ attenzione poiche’ l’unica matrice diagonale antisimmetrica e’ quella nulla.

Teorema 5.2.11 Sia 𝔓 ∈ Syl_{p}(D_{n}(q)), q dispari, allora

Exp𝔓 = \{ \begin{matrix}p^{r} & p^{r−1} < n ≤ \frac{p^{r}+3}{2} \\ p^{r+1} & \frac{p^{r}+3}{2} < n ≤ p^{r} \end{matrix} .

Dim. Il caso p^{r−1} < n < \frac{p^{r}+1}{2} segue esattamente come nel precedente teorema. Per A ∈ (𝔽_{q})_{n} sia w(A) = max{i + j : a_{ij} ≠ 0} il peso di A = (a_{ij}). Per ottenere il minimo n per cui Exp𝔓 = p^{r+1}, dobbiamo considerare l’immagine mediante f_{J}^{(p^{r})} di una matrice antisimmetrica di peso massimale. Ora il codominio dell’applicazione peso sull’insieme W delle matrici antisimmetriche e’ {3, 4, …, 2n − 1}. Quindi l + j ≤ 2n − 4. D’ altro canto l + j ≥ p^{r} − 1. Poiche’ p e’ dispari, n ≥ \frac{p^{r}+5}{2}. Sia l = j = \frac{p^{r}+1}{2}, allora

f_{J}^{(p^{r})}(E_{n,n−1} − E_{n−1,n}) = c_{p^{r}}(l, l)(E_{n−l,n−l−1} − E_{n−l−1,n−l}) + … ≠ 0

completando la prova . □

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