Algebra I 2004/2005

Scopo: nel corso si intendono approfondire concetti algebrici con
particolare enfasi alle moderne applicazioni dell'algebra nella
sicurezza delle trasmissioni (come pagare sul web), nella
correzione degli errori nelle comunicazioni (masterizzare un CD) e
nella compressione dei dati (inviare messaggi col cellulare)

Programma: 

1) Azione di gruppi, concetto di G-insieme, esempi: azione di coniugio,
azione regolare destra; sottogruppi normali e congruenze in monoidi, teoremi di Sylow.

2) richiami di matematica discreta e algebra lineare, teorema cinese del resto: metodo di Lagrange e metodo di Newton.
Problemi di interpolazioni e polinomi di Lagrange, criteri di diagonalizzabilita' di matrici.

3) Numeri p-adici, approssimazioni p-adiche dei razionali e degli interi negativi,
sviluppi p-adici quasi-periodici, topologia e valutazioni non-archimedee (o ultrametriche), 
risoluzioni di equazioni polinomiali nei p-adici, Lemma di Hensel-Newton.

4) Coprimalita' di polinomi, matrice di Sylvester associata a coppie di polinomi,
discriminante di un polinomio, caratterizzazione algebrica dell'esistenza di fattori comuni.

5) Fattorizzazione di polinomi, determinazione di radici razionali, metodo di Kronecker, criteri di irriducibilita', Eisenstein,
Lemma di Gauss, fattorizzazione di polinomi sugli interi e sui
razionali, riduzioni modulari, algoritmo di Berlekamp, criterio di Eulero sull'estrazione di radici quadrate su campi con un numero primo di elementi.

Testi:

Dispense distribuite nel corso reperibili sotto http://scienze-como.uninsubria.it/previtali/Teaching.html
A. Machi' "Introduzione alla Teoria dei gruppi", reperibile presso www.mat.uniroma1.it/people/machi/dispense.html
H. Kurzweil, B. Stellmacher, "Eine Einfuhrung zur Theorie der endlichen Gruppen";
J. von zur Gathen, J Gerhard, "Modern computer algebra";
L. Childs, "Algebra, un'introduzione concreta", ETS.