Programma svolto Corso Matematica Discreta Complementi 2003/2004

1 Numeri Complessi
Numeri complessi, parte reale e parte immaginaria, forma cartesiana, forma polare, modulo, argomento,
l'esponenziale complesso, elevamento a potenza, formula di De Moivre, estrazione di radice.

2 Matrici
Definizione di matrici, somma, prodotto per scalari, prodotto righe per colonne, traccia, sottomatrici,
matrici triangolari, diagonali, trasposizione, matrici simmetriche, permutazioni e segno, determinante,
minori complementari, complemento algebrico, Teorema di Laplace, Teorema di Binet,
condizioni di non singolarita' per una matrice, matrice inversa e suo calcolo, determinante e volumi,
proprietà del determinante, matrici ortogonali,
vettori ortonormali,

3 Spazi vettoriali
Definizione, struttura algebrica, esempi: polinomi e prodotti cartesiani di campi, matrici rettangolari,
lo spazio canonico, sottospazi, intersezione e somma, somma diretta, Formula di Grassmann,
combinazioni lineari, caratterizzazione dei sottospazi, chiusura lineare, sistemi di generatori,
matrici elementari, vettori standard, spazio delle righe e/o delle colonne, indipendenza lineare,
criteri per la dipendenza lineare, basi, caratterizzazione delle basi, esempi, dimensione, rango di una matrice:
varie definizioni, calcolo del rango, Teorema di Kronecker, matrici orlate.

4 Sistemi lineari
Definizione ed esempi, sistemi omogenei, traduzione matriciale, Teorema di Rouché-Capelli, metodi risolutivi,
regola di Cramer, spazio delle soluzioni di un sistema e del sistema omogeneo associato.

5 Applicazioni lineari
Definizione, nucleo, immagine e loro proprietà, Teorema nullità + rango,
esistenza ed unicità di applicazioni lineari,
estensione lineare, iniettività, matrici associate, cambiamenti di base.


6 Simlitudine e diagonalizzabilità
Definizione, relazioni di equivalenza, diagonalizzabilità, invarianti di classi di similitudine,
polinomio caratteristico,interpretazione di alcuni dei suoi coefficienti, autovalori e autovettori,
estensione del campo, autospazi,
indipendenza tra autovettori, molteplicità algebrica e geometrica, spettro, regolarità di autovalori,
criteri di diagonalizzabilità, Teorema di Cayley-Hamilton.