Programma Corso Algebra I 2010-2011 Prof. Previtali Docente: Prof. Andreas Previtali Dip. di Fisica e Matematica Universita'dell'Insubria uff. V4.26, Via Valleggio, 11 22100-Como tel +39+031+2386316 fax+39+031+2386119 http://scienze-como.uninsubria.it/previtali/ A) Interi Numeri Interi, Interi Relativi, Razionali e Reali, Assiomi di Peano, Principio di Induzione: forma forte e debole, Principio del buon ordinamento, Funzioni suriettive, iniettive e biunivoche, B) Algoritmo Euclideo Definizione di algoritmo, Algoritmo di divisione, esistenza ed unicita' di quoziente e resto, massimo comun divisore, Algoritmo di Euclide, Identita' di Bezout, Calcolo matriciale dei coefficienti nel teorema di Bezout, Efficienza dell'algoritmo euclideo, Numeri di Fibonacci e cenno al Teorema di Lame', minimo comune multiplo, principio locale-globale. C) Equazioni Diofantee Equazioni diofantee lineari, Fattorizzazione Unica, Numeri Primi, Atomi,Teorema Fondamentale dell'Aritmetica, Relazioni di equivalenza, Partizioni, Congruenze, compatibilita' con somma e prodotto, Criteri di divisibilita'. D) Classi di Resto Anello delle classi di resto, equazioni e aritmetica modulare, insiemi di rappresentanti, elementi invertibili, equazioni in Z/m, Teorema di Wilson, Primi esempi di gruppi, funzione di Eulero, debole moltiplicativita', Teoremi di Eulero-Fermat, Elemento primitivo in Z/p, numeri pseudoprimi, interi di Carmicheal. E) Gruppi Concetto di gruppo, Definizione di sottogruppo; sottogruppi banali; sottogruppi ciclici generati da un elemento. La cardinalita' del sottogruppo generato da un elemento e' l'ordine dell'elemento. Tutti i sottogruppi degli interi Z sono ciclici. Laterali di un sottogruppo e Teorema di Lagrange. L'unico gruppo che non possiede sottogruppi non banali e' un gruppo ciclico di ordine primo. F) Teorema Cinese del resto Concetto di anello, Prodotto diretto di gruppi e anelli, Teorema cinese del resto, sistemi di equazioni diofantee in una variabile, metodo risolutivo di Lagrange, Interpolazione. G) Polinomi Anelli commutativi con unita': definizioni e prime proprieta'. Unita' e divisori dello zero. Omomorfismi di anelli. Campi. Teorema cinese dei resti: versione astratta. Polinomi a coefficienti in un anello commutativo con unita' R. L'anello commutativo R[x]. Grado di un polinomio. Additivita' dei gradi. Radici di un polinomio. Teorema di divisione con resto per i polinomi e conseguenze. Algoritmo di Euclide e massimo comun divisore tra polinomi. Fattorizzazione in polinomi irriducibili. Teorema fondamentale dell'algebra. Polinomi irriducibili a coefficienti reali. Irriducibilita' in Q[x] e R[x]: polinomi primitivi e Lemma di Gauss. Quoziente mod m di un polinomio. H) Irriducibilita' Criteri di irriducibilita': Teorema della radice razionale, Teorema di passaggio al quoziente e Criterio di Eisenstein. J) Ideali e Anelli quoziente Ideali in Anelli Commutativi, Costruzione dell'anello quoziente, ideali massimali, teorema di corrispondenza tra ideali in un anello e nel relativo quoziente, caratterizzazione di un campo come anello commutativo privo di ideali propri, quoziente di anelli di polinomi rispetto a un polinomio irriducibile, costruzione di alcuni campi finiti, caratteristica di un campo, determinazione dell'ordine di campi finiti. I) Quozienti Congrunze in gruppi, mappa di coniugio, sottogruppi normali, gruppi quoziente, caso non abeliano: Sym(3). Gruppo affine, gruppi diedrali TESTI consigliati L. N. Childs, A Concrete Introduction to Higher Algebra, 3rd edition, Springer Verlag 2009. Edizione italiana (della prima edizione): Matematica discreta: un'introduzione concreta. ETS editrice, Pisa. I. N. Herstein, "Abstract Algebra", Prentice-Hall, 1996 (edizione italiana a cura di Editori Riuniti intitolata "Algebra"). A. Machi', "Gruppi" Springer Verlag 2005 Modalita' d'esame 1) L'esame consta di una parte scritta obbligatoria e di una parte orale. 2) NON si possono consultare libri o appunti durante lo scritto. 3) Chi raggiunge la valutazione di 16 allo scritto e' ammesso all'orale. 4) L'esame orale deve essere sostenuto immediatamente dopo lo scritto e solo in casi ECCEZIONALI rimandato al piu' di un appello. 5) L'esame andrebbe sostenuto il primo anno e comunque NON oltre 5 mesi dalla discussione della Tesi di Laurea.