Programma Corso Matematica Discreta

Modulo A (Prof. Previtali):
Numeri Interi, Interi Relativi, Razionali e Reali,
Assiomi di Peano, Principio di Induzione, Principio del buon ordinamento,
Funzioni suriettive, iniettive e biunivoche,
coefficienti binomiali: interpretazione combinatoria e espressione analitica,
Triangolo di Chu-Tartaglia, Formula del Binomio di Newton,
Definizione di algoritmo, Algoritmo di divisione, esistenza ed unicita' di quoziente e resto, 
massimo comun divisore, Algoritmo di Euclide, Identita' di Bezout, 
Calcolo matriciale dei coefficienti nel teorema di Bezout, 
Efficienza dell'algoritmo euclideo, 
Numeri di Fibonacci e cenno al Teorema di Lame',
Equazioni diofantee lineari,  Fattorizzazione Unica, 
Numeri Primi, Atomi,Teorema Fondamentale dell'Aritmetica, Relazioni di equivalenza, Partizioni, Congruenze, 
compatibilita' con somma e prodotto, Criteri di divisibilita',
Anello delle classi di resto, equazioni e aritmetica modulare, insiemi di rappresentanti,
elementi invertibili, equazioni in Z/m, concetto di gruppo, Primi esempi di gruppi, funzione di Eulero, debole moltiplicativita',
Teoremi di Eulero-Fermat

Modulo B (Prof.ssa Stoppino http://www-dimat.unipv.it/~stoppino/MatematicaDiscreta.html):
Applicazione del teorema di Fermat: cenni al metodo crittografico RSA. Applicazione al periodo delle espansioni decimali di frazioni.
Definizione di gruppo; prime proprietà di gruppi: unicità dell'elemento neutro, unicità dell'inverso, associativa generalizzata, commutativa generalizzata (per un gruppo abeliano).
Teorema di Eulero-Fermat astratto.
Definizione di sottogruppo; sottogruppi banali; sottogruppi ciclici generati da un elemento. La cardinalità del sottogruppo generato da un elemento è l'ordine dell'elemento. Tutti i sottogruppi degli interi Z sono ciclici. Laterali di un sottogruppo e Teorema di Lagrange.
L'unico gruppo che non possiede sottogruppi non banali è un gruppo ciclico di ordine primo.
Teorema cinese dei resti con due e con più congruenze.
Omomorfismi di gruppo. Definizione di Imf e kerf, verifica che sono sottogruppi.
Teorema: f e' iniettivo se e solo se kerf={e}.
Anelli commutativi con unità: definizioni e prime proprietà. Unità e divisori dello zero. Omomorfismi di anelli. Campi. Teorema cinese dei resti: versione astratta.
Polinomi a coefficienti in un anello commutativo con unità R. L'anello commutativo R[x]. Grado di un polinomio. Additività dei gradi. Radici di un polinomio. Teorema di divisione con resto per i polinomi e conseguenze. Teorema di D'Alembert. Algoritmo di Euclide e massimo comun divisore tra polinomi. Fattorizzazione in polinomi irriducibili. Teorema fondamentale dell'algebra (dimostrazione solo per i matematici: polinomi in due variabili e risultante di due polinomi). Polinomi irriducibili a coefficienti reali. Irriducibilità in Q[x] e R[x]: polinomi primitivi e Lemma di Gauss. Quoziente mod m di un polinomio. Criteri di irriducibilità: Teorema della radice razionale, Teorema di passaggio al quoziente e Criterio di Eisenstein.


TESTI consigliati

L. N.  Childs, A Concrete Introduction to Higher Algebra, 3rd edition, Springer Verlag 2009. Edizione italiana (della prima edizione): Matematica discreta: un'introduzione concreta. ETS editrice, Pisa.

I. N. Herstein, "Abstract Algebra", Prentice-Hall, 1996 (edizione italiana a cura di Editori Riuniti intitolata "Algebra").

Modalita' d'esame 

L'esame consta di una parte scritta obbligatoria e di una parte orale. Non si possono consultare libri o appunti durante lo scritto. Chi raggiunge la sufficienza allo scritto e' ammesso all'orale. L'esame orale e' obbligatorio per gli studenti del CdL di Matematica, mentre e' facoltativo per gli studenti del CdL in Scienze e Tecnologie dell'Informazione. E' possibile sostenere l'orale (ovviamente una volta sola) anche nei due appelli successivi a quello dello scritto.