(1) Sia ϕ = \frac{1+\sqrt{5}}{2} la sezione aurea. • Provare che ϕ è un numero irrazionale.

• Provare che phi = \frac{1}{1+ϕ}.

• Iterando la precedente equazione provare che ϕ = _{\frac{1}{1+ \frac{1}{1+...}}}.

• Ridedurre da questa osservazione che ϕ è irrazionale.

• Fornire la definizione di numero irrazionale.

• Spiegare come il Teorema fondamentale dell’Aritmetica possa essere utilizzato per dimostrare l’esistenza di infiniti numeri irrazionali.

• Fornire esempi di dimostrazioni per assurdo, giustificandone la

validita’ mediante principi di logica elementare.

(2) Sia α una radice di x^{3} − 15x − 4. • Fornire la definizione di numero algebrico.

• È ben definito il grado di α visto come numero algebrico?

• Fornire esempi di numeri reali che non sono algebrici. •