Sono trascorsi 5 anni dall'anno mondiale della Matematica, anno in cui si e' promossa un'attivita' di divulgazione delle problematiche di ricerca e delle applicazioni della Matematica moderna.
L'intento principale di questo progetto e' di sfatare la convinzione diffusa anche presso persone di cultura che:
1. la Matematica sia una disciplina statica e
riducibile a risultati
noti ormai da 2000 anni;
2. la Matematica riguardi teorie astratte studiate per motivi puramente
estetici e quindi sia priva di qualsiasi applicazione o rilevanza nella
vita di tutti i giorni;
3. la conoscenza della Matematica consenta di trovare occupazione solo
in qualita' di Insegnanti, professione che agli occhi degli studenti
pare
essere associata a bassi stipendi e scarsa considerazione sociale;
4. dote del matematico sia la capacita' di portare a termine calcoli
noiosi, spogliando la Matematica del ruolo di scienza;
5. la Matematica fornisca risultati onnipresenti nel mondo iperuranico.
Un ipotesi di lavoro per ognuna delle precedenti convinzioni potrebbe essere:
1. privilegiare un insegnamento della Matematica
che privilegi l'aspetto
storico, ne evidenzi i protagonisti e motivi e analizzi le ragioni per
cui certi concetti sono nati. La speranza e' di eliminare l'aspetto di
imposizione ingiustificata di formule e teoremi agli studenti;
2. indicare in forma elementare applicazioni alla vita di tutti i
giorni
mettendo in evidenza come la Matematica venga utilizzata in campi
disparati
quali
1. l'uso dei cellulari;
2. la masterizzazione dei CD;
3. la compressione dei dati;
4. le ricerche in Internet;
5. la ricostruzione di immagini;
6. la sicurezza nella trasmissione di informazioni riservate.
3. mostrare come queste applicazioni aprono in forma concreta e
renumerativa
possibilita' di impiego alternative a quelle di Insegnante;
4. sottolineare che la Matematica si configura come una scienza in
cui sono necessari intuito, immaginazione e fantasia . Spesso il
matematico
si ingegna per evitare il piu' possibile di effettuare calcoli trovando
argomenti generali che possono essere usati anche in altre discipline;
5. utilizzare moderni strumenti di calcolo non solo per ottenere noiose
liste di numeri ma per poter enunciare congetture e testare intuizioni.
In questo modo il computer diventa per il matematico quello che un
acceleratore
di particelle rappresenta per un fisico nucleare, ossia uno strumento
che
consente di corroborare ipotesi ottenute mediante speculazioni teoriche
o intuizioni artistiche.
Al fine di attuare gli intenti dichiarati nell'introduzione si pensava di analizzare due temi centrati su recenti applicazioni della Matematica.
1) Teoria dei Numeri e sicurezza dei dati
Fortunatamente da circa trenta' anni il metodo RSA (acronimo di Rivest, Shamir e Adleman) ha sfatato la convinzione, tra altri, del matematico inglese G. H. Hardy. Egli sosteneva che la Matematica da lui studiata, la Teria dei Numeri, non avrebbe mai trovato applicazioni di natura pratica. Nella meta' degli anni settanta ci si poneva il problema se fosse possibile scambiare informazioni in forma sicura tra persone che non si erano incontrate in precedenza.
La risoluzione di tale problema ha portato alla nascita della Crittografia a chiave pubblica e ha mostrato come conoscenze non troppo profonde di Matematica pura avessero applicazioni sensazionali. In pratica si tratta di esibire funzioni, dette di cifratura, che si possono calcolare facilmente, che ammettono inversa, ma la cui inversa e' molto difficile da ottenere se non si conoscono informazioni riservate. Nel caso del RSA tali funzioni sono costruite utilizzando l'elevata complessita' di fattorizzare interi.
Nel dettaglio si pensava di analizzare i seguenti punti:
1. Definizione di numero primo e numero composto;
2. Primalita' e divisione per tentativi;
3. Complessita' degli algoritmi;
4. L'Aritmetica dell'orologio;
5. L'Algoritmo Euclideo;
6. Il piccolo Teorema di Fermat;
7. La funzione e il Teorema di Eulero;
8. Descrizione del metodo RSA.
L'idea e' di studiare questi argomenti utilizzando
linguaggi di manipolazione
simbolica (ad esempio Derive)
per sottolineare la sperimentalita' della
Matematica.
La speranza e' che un tale approccio convinca lo studente
che
l'aspetto piu' interessante e piu' difficile della
scoperta scientifica
consiste nell'enunciazione di tesi in grado di strutturare risultati
apparentemente
caotici.
L'uso di programmi di manipolazione simbolica
dovrebbe anche
mostrare
che il compito del matematico
non si riduce ad un'esecuzione automatica
di calcoli, visto che tale compito viene svolto molto piu'
efficientemente
dal calcolatore.
Infine e' importante toccare con mano come variano i
tempi
di risposta a seconda dell'algoritmo utilizzato,
tabulando ad esempio
come
variano i tempi di calcolo del Massimo Comun Divisore usando
l'algoritmo
classico
basato sulla fattorizzazione in primi e quello “moderno”
dovuto
ad Euclide.
Lo scopo e' di sensibilizzare lo studente sulla
necessita'
di trovare strade veloci per la risoluzione di un
problema senza
affidarsi
completamente al progresso tecnologico.
Il raddoppio delle risorse di
calcolo
in termini di velocita' del processore e della memoria RAM viene
facilmente
messo in crisi se vengono usati algoritmi poco efficienti
(esponenziali).
2) Teoria dei
Sistemi Dinamici e Tempi di
ritorno
Oggetto di questo laboratorio e' lo studio delle
proprieta'
delle traiettorie e dei tempi di ritorno nei sistemi dinamici.
Esponiamo brevemente il programma di tale laboratorio,
gli strumenti matematici che esso aiuta ad introdurre, e le
metodologie informatiche in esso sviluppate.
A) Il programma sintetico del laboratorio e' il seguente:
A1) concetto di sistema dinamico
A2) traiettorie dei sistemi dinamici e loro proprieta'
A3) proprieta' di ricorrenza e loro analisi statistica
A1) concetto di sistema dinamico
Si introduce dapprima in modo
operazionale, induttivo,
il concetto
di sistema dinamico, anche attraverso l'esame di
esempi
particolarmente semplici ed istruttivi.
Il punto di partenza e' la famosa mappa logistica,
che descrive
l'evoluzione di una popolazione. Si formalizza poi
il concetto,
giungendo alla nozione di mappa come di una funzione
che agisce
in uno spazio in cui esiste una metrica.
Si passa poi a considerare il
caso di evoluzione
a tempo continuo,
anche qui partendo da esempi elementari.
Fondamentale
a questo punto e'
la nozione di derivata, che viene introdotta in
modo naif.
A2) traiettorie dei sistemi dinamici e loro proprieta'
Si caratterizzano poi le
proprieta' delle traiettorie
di tali
sistemi, da due punti di vista, che verranno poi
svelati essere
quello topologico e quello metrico. Quest'ultimo
viene introdotto in
modo operazionale, tramite le cosiddette "misure
fisiche". Si arriva
alla nozione di misura invariante.
Questi concetti vengono
raggiunti analizzando in
modo sperimentale una
serie di esempi notevoli.
Si giunge a caratterizzare la
nozione di ergodicita'
e la nozione di
mixing.
A3) proprieta' di ricorrenza
Sempre in modo
induttivo--investigativo, si studiano
le proprieta' di
ricorrenza di tali traiettorie, dandone una
descrizione
statistica.
Si raffinano poi gli indicatori statistici di tali
ricorrenze, per
completare l'analisi sperimentale.
B) Strumenti matematici introdotti
Durante il laboratorio, lo studente viene portato
naturalmente
a sviluppare strumenti matematici sia di base, che avanzati.
Tra i primi, lo studio del grafico di funzioni elementari, e l'utilizzo
di calcoli algebrici elementari (studio dei parametri, etc.)
Inoltre, si incontrano il concetto di limite e di derivata, di
successione
e di
somma di una serie.
Tra i secondi, la nozione di distanza e di misura, le proprieta'
topologiche degli insiemi, le equazioni differenziali.
C) Metodologie informatiche sviluppate
Essenziale per il laboratorio e' l'analisi numerica, sperimentale,I punti di forza del progetto possono essere cosi’ riassunti:
a) Collegamento con il mondo della ricerca: i ragazzi delle superiori avranno la possibilita' di avvicinarsi